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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - partielle Differenzierbarkeit
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partielle Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Sa 22.04.2006
Autor: neli

Aufgabe
Die Funktion f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] sei stetig partiell differenzierbar und es gebe ein p [mm] \in \IN, [/mm] so dass f(tx) = [mm] t^p*f(x) [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt. Zeigen sie:
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i* \bruch{ \delta f}{ \delta x_i}(x) [/mm] = pf(x)

Habe überhaubt keine Ahnung, was ich mit dieser Aufgabe anfangen soll :-(
habe die Thematik der partiellen Differenzierbarkeit noch nicht wirklich durchdrungen kann es zwar rechnen aber kann mir hier gerade unter den ganzen Bedingungen nicht viel vorstellen

kann ich aus f(tx) = [mm] t^p*f(x) [/mm] folgern, dass f(x) irgendwie die Gestalt f(x) = (x|x) haben sollte? Wobei (x|x) standard Skalarprodukt von x mit sich selbst sein soll
damit würden dann zumindest für den Fall n=1  die Gleichung gelten, weil
dann wäre (x|x) ja quasi [mm] x^2 [/mm] und
f(tx)= [mm] (tx)^2 [/mm] = [mm] t^2*x^2 [/mm] = [mm] t^2*f(x) [/mm]
und aus der Summe würde ja einfach
xf´(x) = x*2x = [mm] 2x^{2} [/mm] = 2f(x)

mit dem Standard Skalarprodukt dürfte die Gleichung auch für beliebiges n gelten
Kann ich das den irgendwie verallgemeiner?

bin für jeden Ansatz dankbar

Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt

mit freundlichen Grüßen Neli

        
Bezug
partielle Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Sa 22.04.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo neli,

je nachdem, wie wohl man sich schon in der mehrdimensionalen analysis fühlt, ist diese aufgabe gar nicht so schwer.... ;-)
Hattet ihr schon die mehrdim. kettenregel? Nimm dir dann die gleichung [mm] $f(tx)=t^p\cdot [/mm] f(x)$ und leite sie nach $t$ ab. Dann hast du die lösung schon fast da stehen.

VG
Matthias

Bezug
                
Bezug
partielle Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 So 23.04.2006
Autor: neli

Na das lässt ja dann noch hoffen :-)
habe mal Versucht die abzuleiten aber da mir das jetzt noch nicht wirklich weiterhilft habe ich etwas den Verdacht die Ableitung stimmt nicht
also ich habe da dann raus:
"Nabla"f(tx)x = [mm] pt^{p-1}f(x) [/mm]
("Nabla" = [mm] (D_1,....D_n) [/mm] und [mm] D_i [/mm] = i-te partielle Ableitung)
daraus folgt dann, dass pf(x) [mm] ="Nabla"f(tx)*\bruch{x}{t^{p-1}} [/mm]
Aber wie kriege ich das t aus der Gleichung das kommt ja in der unteren Gleichung nicht mehr vor

Bezug
                        
Bezug
partielle Differenzierbarkeit: t=1 (oT.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 So 23.04.2006
Autor: MatthiasKr

.

Bezug
                        
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partielle Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 So 23.04.2006
Autor: neli

Ich kann doch nicht einfach t=1 setzen oder?
die Gleichung f(tx) = [mm] t^p*f(x) [/mm] soll ja für alle t [mm] \in \IR [/mm] gelten


Bezug
                                
Bezug
partielle Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 So 23.04.2006
Autor: MatthiasKr

doch klar, kannst du!
Die gleichung gilt für alle $t$, deshalb kannst du nach $t$ ableiten. Schaut man sich dann die entstehende gleichung nur für $t=1$ an, hat man die zu beweisende aussage. Ist nix gegen zu sagen!

VG
Matthias

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