partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Do 28.06.2012 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^{2}\to\IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}}{y}, & \mbox{für } y\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } y=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zu untersuchen ist:
i) Besitzt f in (0,0) beide partiellen Ableitungen?
ii) Ist f in (0,0) differenzierbar? |
Hallo an alle,
ich beschäftige mich momentan mit Differentiation mehrerer Veränderlicher und habe noch deutliche Lücken.
Ich werde versuchen meine 1000 Fragen übersichtlich zu stellen und hoffe dass jemand bereit ist sich da durch zu arbeiten 
i) Besitzt f in (0,0) beide partiellen Ableitungen?
Frage (1): Reicht es hier, wenn ich anhand des Differentialquotienten zeige, dass sowohl [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] als auch [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] existiert?
Frage (2): Berechne ich dann erst anhand des Limes die Ableitung und setzte dann den Punkt (0,0) ein, oder bestimme ich direkt die Ableitung im Punkt (0,0)??
Ich habe einfach mal beide Varianten ausprobiert und bin dabei auf weitere Fragen gestoßen bitte beantworten, auch wenn dies nicht die richtige Variante ist 
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x}= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{(x+h)^{2}}{y}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^{2}+2xh+h^{2}}{yh}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{x^{2}}{h}+2x+h}{y}=\bruch{2x}{y}
[/mm]
Frage (2a): Wenn ich den Punkt (0,0) jetzt einsetze, würde dies ja nicht funktionieren, wegen der 0 im Nenner, andererseit ist laut Aufgabenstellung [mm] y\not=0, [/mm] somit funktioniert das dann doch?
Wenn ich es für [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] allerdings gleich im Punkt (0,0) prüfe, sehe das bei mir so aus:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^{3}}{0}=? [/mm]
Frage (2b): Ist das hier nicht wieder eine Definitionslücke, wodurch der Grenzwert eigentlich nicht funktioniert? (Man merkt, es hapert immer wieder an der gleichen Stelle^^)
Das ganze nun nochmal für [mm] \bruch{\delta f}{\delta y}:
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x,y+h)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{x^{2}}{y+h}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^{2}}{yh+h^{2}}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{x^{2}}{h}}{y+h}=\bruch{0}{y}=0
[/mm]
Frage (2c): Was habe ich falsch gemacht dass nicht die richtige partielle Ableitung rauskommt? Eigentlich müsste es doch eigentlich [mm] -\bruch{x^{2}}{y^{2}}sein, [/mm] oder?
Wenn ich [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] auch nochmal im Punkt (0,0) prüfe, sieht das bei mir so aus:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0
[/mm]
Frage (2d): So, das müsste jetzt doch zumindest richtig sein, oder?
Ich weiß dass die partiellen Ableitungen existieren, aber zu einer endgültigen Schlussfolgerung bin ich aufgrund der vielen Fragen noch nicht gekommen.
ii) Ist f in (0,0) differenzierbar?
Frage (3): Eigentlich würde ich Differenzierbarkeit genauso zeigen, wie die Existenz der beiden partiellen Ableitungen. Müsste ich hierbei die allgemeinen partiellen Ableitungen berechnen und dann den Punkt einsetzen oder zeig ich die Differenzierbarkeit direkt im Punkt (0,0) (Da es für die restlichen Punkte ja klar differenzierbar ist.)? Oder muss ich da ganz anders vorgehen?
Ich hoffe hier traut sich jemand ran
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Paula,
sauberes Aufschreiben hilft erstmal ungemein. Ich mach' das mal, dann sollten sich alle Deine Fragen bzgl. der partiellen Ableitungen klären:
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR[/mm]
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}}{y}, & \mbox{für } y\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } y=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Zu untersuchen ist:
> i) Besitzt f in (0,0) beide partiellen Ableitungen?
> ii) Ist f in (0,0) differenzierbar?
1.) Zur partiellen Ableitung nach $x\,$ in $(0,0)\,$:
Die Notation $\lim_{h \to 0}$ ist als $\lim_{0 \not=h \to 0}$ definiert/zu interpretieren (nachlesen!). Daher prüfen wir, wenn wir wissen wollen, ob $f\,$ in $(0,0)$ partiell nach $x\,$ diff'bar ist, ob der folgende Grenzwert existiert:
$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}\,.$$
Rechterhand ist nach dem Limes das $h\,$ stets $\not=0\,,$ und $y=0\,$ bleibt festgehalten, so dass $f(h,0)=0\,$ gilt. Zudem ist $f(0,0)=0\,$ per Definitionem von $f\,.$ Daher
$$\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}\,.$$
Also?
Nun 2.): Zur partiellen Ableitung nach $y\,$ in $(0,0)\,:$
Hier haben wir zu testen, ob $\lim_{h \to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}$ existiert. Wie oben erwähnt ist das $h\,$ in dem Bruch nach dem Limes stets $\not=0\,,$ also ist in $f(0,0+h)=f(0,h)$ die zweite Komponente $h \not=0\,.$ Wir haben also $f(0,h)=0^2/h=0$ und $f(0,0)$ dort einzusetzen. Also?
Und nun zur Frage nach der (totalen) Differenzierbarkeit in $(0,0)\,:$
Offenbar ist doch $f(0,0)=0\,$ nach Definitionem von $f\,,$ weil halt die zweite Komponente des Punktes $(0,\textbf{\blue{0}})$ halt $\textbf{\blue{{0}}$ ist.
Setze nun $(x_n,y_n):=\left(\frac{1}{n},\;\frac{1}{n^2}\right)$ für $n \in \IN\,.$ Wieso erkennt man damit nun, dass $f\,$ in $(0,0)\,$ nicht stetig sein kann? Was folgt daraus?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 29.06.2012 | | Autor: | paula_88 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die geduldige Erklärung, ich muss also von dem Gedanken der Definitionslücke wegkommen, das habe ich verstanden
Nun noch einige neue Fragen, die auftauchen:
> 1.) Zur partiellen Ableitung nach [mm]x\,[/mm] in [mm](0,0)\,[/mm]:
> Die Notation [mm]\lim_{h \to 0}[/mm] ist als [mm]\lim_{0 \not=h \to 0}[/mm]
> definiert/zu interpretieren (nachlesen!). Daher prüfen
> wir, wenn wir wissen wollen, ob [mm]f\,[/mm] in [mm](0,0)[/mm] partiell nach
> [mm]x\,[/mm] diff'bar ist, ob der folgende Grenzwert existiert:
> [mm]\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}\,.[/mm]
>
> Rechterhand ist nach dem Limes das [mm]h\,[/mm] stets [mm]\not=0\,,[/mm] und
> [mm]y=0\,[/mm] bleibt festgehalten, so dass [mm]f(h,0)=0\,[/mm] gilt. Zudem
> ist [mm]f(0,0)=0\,[/mm] per Definitionem von [mm]f\,.[/mm] Daher
> [mm]\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}\,.[/mm]
>
> Also?
Also kann ich dadurch sagen dass [mm] \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}=0, [/mm] somit existiert der Grenzwert und die Existenz dieser partiellen Ableitung ist bewiesen?
> Nun 2.): Zur partiellen Ableitung nach [mm]y\,[/mm] in [mm](0,0)\,:[/mm]
>
> Hier haben wir zu testen, ob [mm]\lim_{h \to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}[/mm]
> existiert. Wie oben erwähnt ist das [mm]h\,[/mm] in dem Bruch nach
> dem Limes stets [mm]\not=0\,,[/mm] also ist in [mm]f(0,0+h)=f(0,h)[/mm] die
> zweite Komponente [mm]h \not=0\,.[/mm] Wir haben also [mm]f(0,h)=0^2/h=0[/mm]
> und [mm]f(0,0)[/mm] dort einzusetzen. Also?
Also ist auch [mm] \frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}0, [/mm] der Grenzwert und somit auch die partielle Ableitung existent?
Somit wäre Aufgabe i komplett bewiesen?
> Und nun zur Frage nach der (totalen) Differenzierbarkeit in
> [mm](0,0)\,:[/mm]
> Offenbar ist doch [mm]f(0,0)=0\,[/mm] nach Definitionem von [mm]f\,,[/mm]
> weil halt die zweite Komponente des Punktes
> [mm](0,\textbf{\blue{0}})[/mm] halt [mm]\textbf{\blue{{0}}[/mm] ist.
>
> Setze nun
> [mm](x_n,y_n):=\left(\frac{1}{n},\;\frac{1}{n^2}\right)[/mm] für [mm]n \in \IN\,.[/mm]
> Wieso erkennt man damit nun, dass [mm]f\,[/mm] in [mm](0,0)\,[/mm] nicht
> stetig sein kann? Was folgt daraus?
Alles klar, du willst auf den Satz hinaus dass bei Stetigkeit in einem Punkt für jede Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0}) [/mm] immer auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n},y_{n})=f(x_{0},y_{0}) [/mm] gelten muss.
[mm] f(x_{0},y_{0})=0
[/mm]
Dann sei [mm] (x_n,y_n):=\left(\frac{1}{n},\;\frac{1}{n^2}\right), [/mm] das eingesetzt in die Funktion ergibt 1, somit ist [mm] f(x_{0},y_{0})\not=\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n},y_{n}) [/mm] und damit ist die Funktion nicht stetig und das impliziert dass sie auch nicht differenzierbar ist, oder?
Alles klar, wenn eine Funktion nicht differenzierbar ist, kann ich das über die Nicht-Stetigkeit zeigen. Aber wie zeige ich es wenn die Funktion differenzierbar ist? Dann ist Stetigkeit ja nur eine hinreichende Bedingung.
Könnte mir dafür jemand bitte nochmal ein Beispiel zeigen?
Vielen lieben Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für die geduldige Erklärung, ich muss also
> von dem Gedanken der Definitionslücke wegkommen, das habe
> ich verstanden
> Nun noch einige neue Fragen, die auftauchen:
>
> > 1.) Zur partiellen Ableitung nach [mm]x\,[/mm] in [mm](0,0)\,[/mm]:
> > Die Notation [mm]\lim_{h \to 0}[/mm] ist als [mm]\lim_{0 \not=h \to 0}[/mm]
> > definiert/zu interpretieren (nachlesen!). Daher prüfen
> > wir, wenn wir wissen wollen, ob [mm]f\,[/mm] in [mm](0,0)[/mm] partiell nach
> > [mm]x\,[/mm] diff'bar ist, ob der folgende Grenzwert existiert:
> > [mm]\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}\,.[/mm]
>
> >
> > Rechterhand ist nach dem Limes das [mm]h\,[/mm] stets [mm]\not=0\,,[/mm] und
> > [mm]y=0\,[/mm] bleibt festgehalten, so dass [mm]f(h,0)=0\,[/mm] gilt. Zudem
> > ist [mm]f(0,0)=0\,[/mm] per Definitionem von [mm]f\,.[/mm] Daher
> > [mm]\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}\,.[/mm]
>
> >
> > Also?
>
> Also kann ich dadurch sagen dass [mm]\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}=0,[/mm]
> somit existiert der Grenzwert und die Existenz dieser
> partiellen Ableitung ist bewiesen?
ja! Genauer: Die Existenz der partiellen Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ist bewiesen, und diese hat den Wert [mm] $0\,.$
[/mm]
> > Nun 2.): Zur partiellen Ableitung nach [mm]y\,[/mm] in [mm](0,0)\,:[/mm]
> >
> > Hier haben wir zu testen, ob [mm]\lim_{h \to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}[/mm]
> > existiert. Wie oben erwähnt ist das [mm]h\,[/mm] in dem Bruch nach
> > dem Limes stets [mm]\not=0\,,[/mm] also ist in [mm]f(0,0+h)=f(0,h)[/mm] die
> > zweite Komponente [mm]h \not=0\,.[/mm] Wir haben also [mm]f(0,h)=0^2/h=0[/mm]
> > und [mm]f(0,0)[/mm] dort einzusetzen. Also?
>
> Also ist auch [mm]\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}0,[/mm]
> der Grenzwert und somit auch die partielle Ableitung
> existent?
Ja!
> Somit wäre Aufgabe i komplett bewiesen?
Sagen wir mal: Komplett bearbeitet! Man beweist ja keine Aufgaben, sondern Aussagen
> > Und nun zur Frage nach der (totalen) Differenzierbarkeit in
> > [mm](0,0)\,:[/mm]
> > Offenbar ist doch [mm]f(0,0)=0\,[/mm] nach Definitionem von [mm]f\,,[/mm]
> > weil halt die zweite Komponente des Punktes
> > [mm](0,\textbf{\blue{0}})[/mm] halt [mm]\textbf{\blue{{0}}[/mm] ist.
> >
> > Setze nun
> > [mm](x_n,y_n):=\left(\frac{1}{n},\;\frac{1}{n^2}\right)[/mm] für [mm]n \in \IN\,.[/mm]
> > Wieso erkennt man damit nun, dass [mm]f\,[/mm] in [mm](0,0)\,[/mm] nicht
> > stetig sein kann? Was folgt daraus?
>
> Alles klar, du willst auf den Satz hinaus dass bei
> Stetigkeit in einem Punkt für jede Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})[/mm]
> immer auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n},y_{n})=f(x_{0},y_{0})[/mm]
> gelten muss.
> [mm]f(x_{0},y_{0})=0[/mm]
> Dann sei
> [mm](x_n,y_n):=\left(\frac{1}{n},\;\frac{1}{n^2}\right),[/mm] das
> eingesetzt in die Funktion ergibt 1, somit ist
> [mm]f(x_{0},y_{0})\not=\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n},y_{n})[/mm]
Genauer: [mm] $f(x_0,y_0)=f(0,0)=0\not=1=\lim_{n \to \infty}1=\lim_{n \to \infty}f(x_n,y_n\,)$ [/mm] und es strebt [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)=(0,0)\,.$ [/mm] Damit kann [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] sein!
Ansonsten:
Ja, wobei hier doch konkret [mm] $x_0=y_0=0$ [/mm] war: Wir wollen ja die die Funktion in [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] untersuchen!
> und damit ist die Funktion nicht stetig und das impliziert
> dass sie auch nicht differenzierbar ist, oder?
Richtig!
> Alles klar, wenn eine Funktion nicht differenzierbar ist,
> kann ich das über die Nicht-Stetigkeit zeigen.
Nein. Sorum, wie Du es formulierst, wird das nicht immer klappen. Nur: Wenn Du schon zeigst, dass die Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, wird sie dort erst recht nicht diff'bar sein: Diff'barkeit impliziert Stetigkeit, wegen Kontraposition ist die gleichbedeutende Aussage, dass Nichtstetigkeit die Nichtdiff'barkeit impliziert! ($A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist logisch gleichwertig zu [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$)
[/mm]
Und Du kennst auch nicht differenzierbare Funktionen, die trotzdem stetig sind: Die Betragsfunktion ist stetig, aber in [mm] $0\,$ [/mm] nicht diff'bar. Nur: Du wirst keine Funktion finden, die an einer Stelle zwar diff'bar, aber zugleich dort nicht stetig ist.
> Aber wie
> zeige ich es wenn die Funktion differenzierbar ist? Dann
> ist Stetigkeit ja nur eine hinreichende Bedingung.
Nein. Stetigkeit ist NOTWENDIG für die Differenzierbarkeit, aber nicht hinreichend! Es gibt aber hinreichende Bedingungen, die Du nachlesen kannst: Existenz der partiellen Ableitung und deren Stetigkeit oder sowas...
Oder Du rechnest halt wirklich die formale Definition nach: Wenn eine Funktion an einer Stelle diff'bar ist, dann kannst Du dort ja schonmal die Jacobimatrix ausrechnen und dann dieses "Approximationskriterium mittels linearer Approximation" versuchen, zu beweisen. In der Praxis ist es aber so, dass Du Dir besser mal die hinreichenden Bedingungen bzgl. der partiellen Ableitungen anguckst:
Was reicht es, über die partiellen Ableitungen an einer Stelle zu wissen, um damit schon die (totale) Diff'barkeit der Funktion an dieser Stelle folgern zu dürfen?
Meist ist man damit gut bedient. Aber natürlich: Wenn diese hinreichenden Bedingungen nicht erfüllt sind, dann heißt das nicht, dass die Funktion an der betrachteten Stelle automatisch nicht diff'bar wäre. Deswegen sind es ja halt HINREICHENDE Bedingungen für Diff'barkeit. Manchmal gibt es aber auch Charakterisierungssätze...
> Könnte mir dafür jemand bitte nochmal ein Beispiel
> zeigen?
Na: Beweise einfach mal bei Deiner Funktion die Diff'barkeit an den Stellen [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit $y [mm] \not=0\,.$ [/mm] Wenn Dich das anfangs überfordert: Überlege Dir das erstmal meinetwegen dann zunächst speziell an der Stelle [mm] $(1,1)\,.$
[/mm]
P.S.
Bin etwas in Eile, wenn ich irgendwo Unsinn oder sowas geschrieben habe, hoffe ich, dass Du oder jmd. anderes mich nochmal drauf hinweist: Ich korrigiere das dann später. Also bitte mit Bedacht lesen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
eins müssen wir doch noch klären:
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR[/mm]
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}}{y}, & \mbox{für } y\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } y=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Zu untersuchen ist:
> i) Besitzt f in (0,0) beide partiellen Ableitungen?
> ii) Ist f in (0,0) differenzierbar?
>
> Hallo an alle,
> ich beschäftige mich momentan mit Differentiation
> mehrerer Veränderlicher und habe noch deutliche Lücken.
> Ich werde versuchen meine 1000 Fragen übersichtlich zu
> stellen und hoffe dass jemand bereit ist sich da durch zu
> arbeiten
>
> i) Besitzt f in (0,0) beide partiellen Ableitungen?
>
> Frage (1): Reicht es hier, wenn ich anhand des
> Differentialquotienten zeige, dass sowohl [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm]
> als auch [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] existiert?
>
> Frage (2): Berechne ich dann erst anhand des Limes die
> Ableitung und setzte dann den Punkt (0,0) ein, oder
> bestimme ich direkt die Ableitung im Punkt (0,0)??
>
> Ich habe einfach mal beide Varianten ausprobiert und bin
> dabei auf weitere Fragen gestoßen bitte beantworten,
> auch wenn dies nicht die richtige Variante ist
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{(x+h)^{2}}{y}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^{2}+2xh+h^{2}}{yh}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{x^{2}}{h}+2x+h}{y}=\bruch{2x}{y}[/mm]
das ist nicht die richtige Variante. Was Du da machst/machen willst, ist folgendes:
Du betrachtest [mm] $\partial f(x,y)/\partial [/mm] x$ an Punkten [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit $y [mm] \not=0\,$ [/mm] - was man übrigens dann auch direkt hinschreiben kann, weil ich da einfach nur $y [mm] \not=0$ [/mm] festhalte und dann nur wie gewohnt nach [mm] $x\,$ [/mm] ableiten muss (warum?). Nun hast Du halt die Hoffnung, dass [mm] $\lim_{y \to 0}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial f(x,0)}{\partial x}$ [/mm] gilt - und danach vielleicht noch zusätzlich die Hoffnung, dass dann auch [mm] $\lim_{x \to 0}\frac{\partial f(x,0)}{\partial x}=\partial f(0,0)/\partial [/mm] x$ gilt. Das wäre zum Beispiel der Fall, wenn [mm] $\partial f(x,y)/\partial [/mm] x$ überall existiert und die Funktion [mm] $\partial f(x,y)/\partial [/mm] x$ stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ist. (Das ist eine mögliche hinreichende Bedingung, es gibt aber auch wesentlich schwächere hinreichende Bedingungen für obiges "Verfahren"!)
Wenn's unklar ist, dass Deine Vorgehensweise so nicht geht, nimm' ein einfaches Beispiel einer Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] und überlege einfach dort alles erstmal analog, wie Du da vorgehen wolltest, und was dabei rauskäme:
Setze etwa [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $f(0):=1\,.$ [/mm] Hier gilt für alle $x [mm] \not=0\,,$ [/mm] dass [mm] $f\,'(x)$ [/mm] existiert mit [mm] $f\,'(x)=2x\,.$ [/mm] Auch existiert [mm] $\lim_{x \to 0}f\,'(x)=\lim_{x \to 0}(2x)=0\,.$ [/mm] Aber [mm] $f\,$ [/mm] ist nicht differenzierbar in [mm] $0\,,$ [/mm] weil der Differentialquotient
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{h^2-1}{h}$$
[/mm]
nicht existiert!
Gruß,
Marcel
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