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| Aufgabe | Berechnen Sie für die Funktion
[mm] f(x,y)=e^{-mx-ny}ln(mx+ny+C) [/mm] die Ausdrücke [mm] \bruch{\partial}{\partial x}f(x,y), \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y), \bruch{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y) [/mm] |
[mm] u=e^{-mx-ny} u'(x)=-m*e^{-mx-ny} u'(y)=-n*e^{-mx-ny} [/mm]
v=ln(mx+ny+C) [mm] v'(x)=\bruch{1}{mx+ny+C}*m, v'(y)=\bruch{1}{mx+ny+C}*n
[/mm]
Sieht das soweit richtig aus? Und nun verwende ich die Produktregel u'v+v'u
Das größte Problem ist [mm] \bruch{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y)
[/mm]
Welche Formel benutze ich hier?
Vielen Dank im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
> Berechnen Sie für die Funktion
> [mm]f(x,y)=e^{-mx-ny}ln(mx+ny+C)[/mm] die Ausdrücke
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}f(x,y), \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y), \bruch{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y)[/mm]
>
> [mm]u=e^{-mx-ny} u'(x)=-m*e^{-mx-ny} u'(y)=-n*e^{-mx-ny}[/mm]
> v=ln(mx+ny+C) [mm]v'(x)=\bruch{1}{mx+ny+C}*m, v'(y)=\bruch{1}{mx+ny+C}*n[/mm]
>
> Sieht das soweit richtig aus? Und nun verwende ich die
> Produktregel u'v+v'u
Stimmt!![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Deine ersten Nebenrechnungen sind richtig und du musst jetzt wie du richtig erkannt hast die Produktregel anwenden um nach x oder y abzuleiten.
> Das größte Problem ist [mm]\bruch{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y)[/mm]
>
> Welche Formel benutze ich hier?
Das heisst du musst einmal nach x oder y ableiten und danach noch einmal nach der jeweils anderen Variablen.(in welcher Reihenfolge ist egal)
Mach also zunächst den ersten Aufgabenteil und leite dann nach der jeweils anderen Variablen ab.
Also einmal [mm] \bruch{\partial}{\partial x}f(x,y) [/mm] und das Ergebnis nach y ableiten ODER [mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y) [/mm] und das Ergebnis nach x ableiten.
Zur Probe kannst du beides machen. Die Ergebnisse müssen die gleichen sein.
> Vielen Dank im vorraus
Gruß,
tedd
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Hab da noch ne Frage
Kann doch auch schreiben
v= [mm] ln(mx+ny+C)v'(x)=\bruch{1}{mx+ny+C}\cdot{}m, v'(y)=\bruch{1}{mx+ny+C}\cdot{}n
[/mm]
[mm] v'(x)=\bruch{m}{mx+ny+C}\cdot{}, v'(y)=\bruch{n}{mx+ny+C}\cdot{}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hi!
> Hab da noch ne Frage
> Kann doch auch schreiben
> v= [mm]ln(mx+ny+C)v'(x)=\bruch{1}{mx+ny+C}\cdot{}m, v'(y)=\bruch{1}{mx+ny+C}\cdot{}n[/mm]
>
> [mm]v'(x)=\bruch{m}{mx+ny+C}\cdot{}, v'(y)=\bruch{n}{mx+ny+C}\cdot{}[/mm]
>
Also wenn ich das richtig sehe und das da so steht wie du es gemeint hast, hast du ja nur die jeweiligen Faktoren in den Zähler gesetzt was natürlich richtig ist. Ganz normale Bruchrechnung 
Gruß,
tedd
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[mm] \bruch{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y)
[/mm]
Hab da mal ein Ergebnis für doch nach deiner Theorie stimmt es irgendwie nicht oder täusch ich mich da?
[mm] =e^{-mx-ny*(-n)*(-m)*ln(mx+ny+C)} [/mm] bis hierhin verstehe ich es ja(Ergebnis nach y abgeleitet und nu?
[mm] +e^{-mx-ny}\bruch{1}{mx+ny+C}*(-n)m+e^{-mx-ny}*(-m)*\bruch{1}{mx+ny+C}*n+\bruch{e^{-mx-ny*mn}}{(mx+ny+C)^{2}}*(-1)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hm irgendwie weis ich nicht ob du das so da stehen haben wolltest oder nicht....
Also einmal nach y abgeleitet muss so aussehen:
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y)=e^{-m*x-n*y}*(-n)*ln(mx+ny+C)+e^{-m*x-n*y}*\bruch{1}{m*x+n*y+C}*n
[/mm]
[mm] =n*e^{-m*x-n*y}*\left(\bruch{1}{m*x+n*y+C}-ln(m*x+n*y+C)\right)
[/mm]
demenstprechend wird dann
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial y\partial x}f(x,y)=n*e^{-m*x-n*y}*(-m)*\left(\bruch{1}{m*x+n*y+C}-ln(m*x+n*y+C)\right)+n*e^{-m*x-n*y}*\left(-\bruch{m}{m*x+n*y+C}-\bruch{m}{(m*x+n*y+C)^2}\right) [/mm] = ...
Gruß,
tedd
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