part. diff'barkeit >glm stetig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 15.05.2009 | | Autor: | karlo2 |
| Aufgabe | f:(a,b)x(a,b) -> R, f partiell diff'bar, partielle Ableitungen beschränkt.
z.z.: f ist gleichmäßig stetig. |
Hallo Matheraum-Mitglieder.
Habe mir euch empfehlen lassen wenn ich mal Hilfe brauche. Vielleicht hat ja jemand einen Moment für die Aufgabe.
Bisherige Idee:
Im [mm] R^1 [/mm] kann man die Aufgabe ja mit dem Mittelwertsatz lösen:
(f(x)-f(y))/(x-y) = f'(a) <=> f(x)-f(y)=f'(a) (x-y) < c (x-y),
dabei ist a aus (a,b) und c die Schranke der Ableitung. Dann hat man ja Lipschitz- und damit gleichmäßige Stetigkeit.
Ich würde jetzt versuchen, das auf diesen Fall zu übertragen.
Kann ich denn schon was über
d(f(x)-f(y))/d(x-y) aussagen, wenn x und y aus dem [mm] R^2 [/mm] sind ?
Anderer Weg:
Bei normaler Stetigkeit reicht es ja zu zeigen, dass die einzelnen Funktionen stetig sind. Reicht das auch schon bei gleichmäßiger Stetigkeit ? Dann wär man ja fertig indem man zweimal Lipschitz-Stetigkeit wie oben nachweist.
Mir fehlt noch die Übung mit den Begriffen im Mehrdimensionalen, kann mir wer weiterhelfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 15.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ex c> 0 mit [mm] $|f_x(x,y)|, |f_y(x,y)| \le [/mm] c$ für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \times [/mm] (a,b)$
Seien $(x,y), (u,v) [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \times [/mm] (a,b)$:
(*) $|f(u,v)-f(x,y)|$ =$|[f(u,v)-f(x,v)]+[f(x,v)-f(x,y)]|$
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] \alpha [/mm] zwischen u und x mit
$f(u,v)-f(x,v) = [mm] f_x(\alpha,v)*(u-x)$
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] \beta [/mm] zwischen v und y mit
$f(x,v)-f(x,y) = [mm] f_y(x,\beta)*(v-y)$
[/mm]
Aus (*) folgt dann
$|f(u,v)-f(x,y)|$ [mm] \le [/mm] $c(|u-x|+|v-y| [mm] \le [/mm] 2c||(u,v)-(x,y)||$
FRED
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