p–adischen Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 20.04.2010 | | Autor: | Joan2 |
Zeigen Sie, dass die folgende 5–adische unendliche Reihe konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwerte.
2 + 3 · 5 + [mm] 5^2 [/mm] + 3 · [mm] 5^3 [/mm] + [mm] 5^4 [/mm] + 3 · [mm] 5^5 [/mm] + [mm] 5^6 [/mm] + . . . = ?
Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll? Wenn ich die Reihe fortsetze geht das doch gegen [mm] \infty.
[/mm]
Viele Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 20.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass die folgende 5–adische unendliche Reihe
> konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwerte.
>
> 2 + 3 · 5 + [mm]5^2[/mm] + 3 · [mm]5^3[/mm] + [mm]5^4[/mm] + 3 · [mm]5^5[/mm] + [mm]5^6[/mm] + . . .
> = ?
>
> Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll? Wenn ich die
> Reihe fortsetze geht das doch gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> Viele Grüße
> Joan
Hallo,
kann es sein, dass die Exponenten jeweils negativ sein sollten [mm] (5^{-1} [/mm] usw.)? So macht es keinen Sinn.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 20.04.2010 | | Autor: | Joan2 |
Also laut Übungsblatt sind sie positiv. Es sind auch noch weitere Reihen angegeben, ebenfalls positiv.
4 + 4 · 5 + 4 · [mm] 5^2 [/mm] + 4 · [mm] 5^3 [/mm] + . . . = ?
3 + 2 · 5 + 2 · [mm] 5^2 [/mm] + 2 · [mm] 5^3 [/mm] + . . . = ?
1 + [mm] 5^2 [/mm] + [mm] 5^4 [/mm] + [mm] 5^6 [/mm] + . . . = ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Di 20.04.2010 | | Autor: | reverend |
Guten Abend,
wenn man SEckis Link folgt, sollte man (dezimal) auf [mm] \tfrac{8}{15} [/mm] kommen, bzw. 5-adisch [mm] \tfrac{13_5}{30_5}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Mi 21.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Reverend,
> wenn man SEckis Link folgt, sollte man (dezimal) auf
> [mm]\tfrac{8}{15}[/mm] kommen, bzw. 5-adisch [mm]\tfrac{13_5}{30_5}[/mm]
da man [mm] $\IZ$ [/mm] kanonisch in den Ring der $p$-adischen Zahlen einbetten kann, wuerde man den Bruch als [mm] $\frac{8}{15}$ [/mm] schreiben und nicht als [mm] $\frac{13_5}{30_5}$.
[/mm]
Allerdings bin ich gerade verwundert, dass ein Bruch herauskommt, dessen Nenner keine Einheit in [mm] $\IZ_5$ [/mm] (Ring der $5$-adischen Zahlen) ist, da das ganze doch einfach ein Element aus [mm] $\IZ_5$ [/mm] sein sollte und nicht aus [mm] $\IQ_5 \setminus \IZ_5$.
[/mm]
Ich hab's auch mal nachgerechnet, und indem ich es zu $2 + 5 (3 + 5) [mm] \sum_{i=0}^\infty (5^2)^i$ [/mm] umgeschrieben hab und die geometrische Reihe verwendet hab, erhalte ich [mm] $\frac{1}{3}$. [/mm] Das ist auch ein Element aus [mm] $\IZ_5$ [/mm] 
LG Felix
PS: Zur Konvergenz: damit [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] in [mm] $\IZ_5$ [/mm] konvergiert, reicht es zu zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0$ ist (in der $5$-adischen Topologie), also dass [mm] $\lim_{n\to\infty} |a_n|_5 [/mm] = 0$ ist (in der klassischen Topologie). Da jedoch [mm] $a_n$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $5^n$ [/mm] ist, ist also [mm] $|a_n|_5 \le 5^{-n}$, [/mm] und das geht offensichtlich gegen 0 fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 24.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
danke für die Erklärung samt Korrektur!
Herzliche Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mi 21.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Joan!
> Zeigen Sie, dass die folgende 5–adische unendliche Reihe
> konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwerte.
>
> 2 + 3 · 5 + [mm]5^2[/mm] + 3 · [mm]5^3[/mm] + [mm]5^4[/mm] + 3 · [mm]5^5[/mm] + [mm]5^6[/mm] + . . .
> = ?
>
> Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll? Wenn ich die
> Reihe fortsetze geht das doch gegen [mm]\infty.[/mm]
Wie du schon drauf hingewiesen wurdest: du bist hier in den $5$-adischen Zahlen (mit der zugehoerigen Topologie) und nicht in den "normalen" ganzen Zahlen.
Damit eine Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] in [mm] $\IZ_5$ [/mm] konvergiert, muss [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0$ sein in [mm] $\IZ_5$; [/mm] oder anders: es muss [mm] $\lim_{n\to\infty} |a_n|_5 [/mm] = 0$ sein. Kannst du etwas ueber [mm] $|a_n|_5$ [/mm] aussagen? (Bzw. ueberhaupt erstmal ueber [mm] $a_n$?)
[/mm]
Nun zum Bestimmen des Wertes der Reihe. Das wichtigste Hilfsmittel lautet hier mal wieder: die geometrische Reihe. Die funktioniert bei den $p$-adischen Zahlen genauso, wenn [mm] $|a|_p [/mm] < 1$ ist, dann ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty a^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - a}$.
[/mm]
Wenn du in den normalem Dezimalsystem $1.212121... = 1 + 2 [mm] \cdot 10^{-1} [/mm] + 1 [mm] \cdot 10^{-2} [/mm] + 2 [mm] \cdot 10^{-3} [/mm] + 1 [mm] \cdot 10^{-4} [/mm] + 2 [mm] \cdot 10^{-5} [/mm] + ...$ ausrechen willst, schreibst du dies doch um als $(1 + 2 [mm] \cdot 10^{-1}) \sum_{n=0}^\infty 10^{-2 n}$ [/mm] und wendest die geometrische Reihe an auf [mm] $\sum_{n=0}^\infty (10^{-2})^n$, [/mm] da [mm] $|10^{-2}| [/mm] < 1$ ist.
Also, was kannst du hier tun?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 22.04.2010 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
danke für die Hilfen. Ich verstehe jetzt wie du auf den Wert der Reihe gekommen bist, aber wofür hat man jetzt $ [mm] \lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0 $ gebraucht? Das wurde doch gar nicht angewendet?
Gruß
Joan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Joan
> danke für die Hilfen. Ich verstehe jetzt wie du auf den
> Wert der Reihe gekommen bist, aber wofür hat man jetzt
> [mm]\lim_{n\to\infty} a_n = 0[/mm] gebraucht? Das wurde doch gar
> nicht angewendet?
Ich habe es gebraucht, damit ich weiss dass die Reihe konvergiert, und ich somit mit ihr arbeiten darf wie mit einer konvergenten Reihe.
Ausserdem stand in eurer Aufgabenstellung, dass ihr zeigen sollt das die Reihe konvergiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Joan2 |
Achso, verstanden. Vielen Dank für die Hilfe :)
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Doch!