p/q-formel bei funktionsschar < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich beiße mir die zähne an einer funktonsschar-aufgabe aus:
es geht um die nullstellen-bestimmung bei der funktionsschar
[mm] f(x)=x^{3}+kx^{2}-x
[/mm]
ich bin so weit gekommen:
[mm] x^{3}+kx^{2}-x=0
[/mm]
[mm] x(x^{2}+kx-1)=0
[/mm]
(somit erste nullstelle x=o)
für weitere nullstellen muss gelöst werden:
[mm] x^{2}+kx-1=0
[/mm]
normalerweise hilft bei solchen quadratischen funktionen die bewährte p/q-formel weiter.
wenn ich sie hier anwende, komme ich auf
[mm] x_{1,2}= [/mm] -k/2 [mm] \pm \wurzel{ x^{4}/4+1}
[/mm]
ich habe keinen blassen schimmer, wie ich den ausdruck unter der wurzel so auflösen kann, dass ich weiter komme...
danke für alle tipps!
herbie
ach ja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 16.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo trueherbie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Hast Du Dich hier nur vertippt?
Es muss heißen: [mm] $x_{2/3} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{k}{2} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{\red{k^2}}{4}+1}$
[/mm]
Damit nun auch wirklich (weitere) Nullstellen existieren, muss also gelten:
[mm] $\bruch{k^2}{4}+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \red{0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 16.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Es muss heißen: [mm]x_{2/3} \ = \ -\bruch{k}{2} \ \pm \ \wurzel{\bruch{\red{k^2}}{4}+1}[/mm]
>
>
> Damit nun auch wirklich (weitere) Nullstellen existieren,
> muss also gelten:
>
> [mm]\bruch{k^2}{4}+1 \ \ge \ 1[/mm]
>
Ich meine, du hat dich hier vertippt und meinst [mm] \bruch{k^2}{4}+1 \ge [/mm] 0.
Wenn nicht, folgende Frage:
Warum muss gelten: [mm] \bruch{k^2}{4}+1 \ge [/mm] 1 ? Die Wurzel kann ich doch auch von Zahlen zwischen 0 und 1 ziehen. Also müsste gelten:
[mm] \bruch{k^2}{4}+1 [/mm] < 0 . Dann existieren zwei weitere Nullstellen [mm] x_{2,3} [/mm] .
Gilt [mm] \bruch{k²}{4}+1 [/mm] = 0 gibt es nur eine weitere Nullstelle.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Di 16.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Marius
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hallo alle,
erstmal vielen dank für die prompte antwort!
ja, es stimmt leider: ich habe mich (natürlich) vertippt: es muss natürlich [mm] k^{2}/4 [/mm] heißen.
mich bewegt nach wie vor die frage, ob die angabe der lösung für [mm] x_{1,2} [/mm] bzw. der ausdruck unter der wurzel noch vereinfachter dargestellt werden kann, oder ob es so , wie von mir angegeben, also:
[mm] x_{1,2}=-k/2\pm \wurzel{ k^{2}/4+1}
[/mm]
oder auch
[mm] x_{1,2}=-k/2\pm 0,5\wurzel{ k^{2}+4}
[/mm]
belassen werden muss.
(es ist natürlich klar, dass der ausdruck unter der wurzel [mm] \ge0 [/mm] sein muss. aber
[mm] k^{2}+4 [/mm] ist für alle [mm] k\in\IR [/mm] größer gleich null.)
nochmal danke im voraus für alle antworten!
herbie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 18.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herbie!
Als einzige mögliche Zusammenfassung Deiner beiden Ausdrücke sehe ich höchstens noch:
[mm] $x_{2/3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-k\pm\wurzel{k^2+4}}{2}$
[/mm]
Aber das war's dann auch schon ... Welche von diesen 3 Darstellungen man nun wählt, bleibt jedem Einzelnen mit seinem Geschmack überlassen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 19.05.2006 | | Autor: | trueherbie |
ich möchte allen danken, die mir geholfen haben, und wünsche ein schönes wochenende!
herbie
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
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