p finden mit p(x) = 0 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass es zu jeem x [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ein p [mm] \in \IQ[X] [/mm] mit p(x) = 0 und p [mm] \not= [/mm] 0 gibt. |
Hallo,
also bei dieser Aufgabe weiß ich folgendes:
Ich habe ja ein x = a + [mm] b\wurzel[3]{2} [/mm] und a,b [mm] \in \IQ. [/mm]
Nun muss ich irgendeine Abbildung finden, damit p(x) = 0 ist. Also muss ich p in abhängigkeit von a und b angeben, sodass eben p(x) = 0 gilt.
Ist das bis hierhin richtig und wie kann ich anschließend weiter vorgehen?
Danke schonmal!!!
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Hallo nullahnung,
> Zeige, dass es zu jeem x [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ein p [mm]\in \IQ[X][/mm]
> mit p(x) = 0 und p [mm]\not=[/mm] 0 gibt.
> Hallo,
> also bei dieser Aufgabe weiß ich folgendes:
>
> Ich habe ja ein x = a + [mm]b\wurzel[3]{2}[/mm] und a,b [mm]\in \IQ.[/mm]
> Nun muss ich irgendeine Abbildung finden, damit p(x) = 0
> ist. Also muss ich p in abhängigkeit von a und b angeben,
> sodass eben p(x) = 0 gilt.
> Ist das bis hierhin richtig und wie kann ich anschließend
> weiter vorgehen?
Na, Du könntest z.B. so ein p(x) angeben. 
Da irgendwie ja eine dritte Wurzel drin vorkommt, würde ich erst mal ganz platt [mm] (a+b\wurzel[3]{2})^3 [/mm] berechnen. Da bleiben dann immer noch zwei rationale Summanden und zwei mit irrationalen Faktoren, nämlich [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{4}. [/mm] Solche gibts auch in [mm] (a+b\wurzel[3]{2})^2. [/mm] Damit würde ich nun die mit [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] entfernen, die restlichen durch ein lineares Glied.
Dann bleibt Dir also noch rationales Gemüse übrig, das Du durch das absolute Glied auch noch entfernen kannst, so dass Du dann ein [mm] p(x)=x^3+cx^2+dx+f [/mm] mit [mm] c,d,f\in\IQ [/mm] hast.
Das klappt garantiert. Und wenn Du das auch noch zeigen kannst, dann brauchst Du vielleicht gar nicht erst loszurechnen. 
Grüße
reverend
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Vielen Dank. Das war eine sehr hilfreiche Hilfe.
Wenn ich deine Aufgabe richtig verstanden habe, muss ich anschließend noch mein d,e,f, damit p(x) = 0 ist.
Dies habe ich gemacht und habe erhalten:
p(x) = [mm] x^{3}-ax^{2}+a^{2}x-4b^{3}-a^{3}.
[/mm]
Wenn ich nun x = [mm] a+b\wurzel[3]{2} [/mm] einsetze, erhalte ich immer 0 als Ergebnis.
Somit habe ich ja alles bewiesen und die Aufgabe ist erledigt. Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank. Das war eine sehr hilfreiche Hilfe.
Freut mich.
> Wenn ich deine Aufgabe richtig verstanden habe, muss ich
> anschließend noch mein d,e,f, damit p(x) = 0 ist.
Ja, genau.
> Dies habe ich gemacht und habe erhalten:
> p(x) = [mm]x^{3}-ax^{2}+a^{2}x-4b^{3}-a^{3}.[/mm]
>
> Wenn ich nun x = [mm]a+b\wurzel[3]{2}[/mm] einsetze, erhalte ich
> immer 0 als Ergebnis.
Ich erhalte ein anderes Ergebnis:
[mm] p(x)=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3-2b^3
[/mm]
Mach mal für ein paar a,b die Probe mit Deiner und mit meiner Funktion...
> Somit habe ich ja alles bewiesen und die Aufgabe ist
> erledigt. Stimmt das so?
Sobald p(x) bei [mm] (a+\wurzel[3]{2}b) [/mm] immer eine Nullstelle hat, bist Du fertig.
Grüße
reverend
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Ja stimmt hatte einen Rechenfehler in meiner Formel. Deshalb war sie falsch.
Vielen Dank dir für deine sehr kompetente Hilfe!
Ich habe die Aufgabe geschafft und komplett verstanden!
Echt vielen Dank!
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