p-Sylow Untergruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 02.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Anzahl der p-Sylow Unterpruppen von [mm] GL_2(\IF_p) [/mm] |
[mm] \pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 } [/mm] mit a [mm] \in \IF_p
[/mm]
Die p-Sylow Unterpruppen müssen doch die Ordnung [mm] p^m [/mm] haben wenn die Gruppe die Ordnung [mm] p^m [/mm] *q hat.
Aber welche Ordnung hat denn [mm] GL_2(\IF_p) [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
[mm] $GL_2(\IF_p)$ [/mm] enthält genau die invertierbaren [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrizen über [mm] $\IF_p$. [/mm] Überlege dir also, wie viele es von ihnen gibt. Bedenke: eine solche Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Zur Kontrolle: es kommt [mm] $p(p-1)^2(p+1)$ [/mm] als Ordnung von [mm] $Gl_2(IF_p)$ [/mm] heraus. Warum, dass versuche bitte selbst einzusehen.
Um nun die Anzahl der $p$-Sylow-Gruppen zu finden, musst du den 3. Sylowschen Satz anwenden: dieser besagt, dass die Anzahl der $p$-Sylow-Gruppen ein Teiler der Gruppenordnung ist und bei Division durch $p$ den Rest $1$ lässt.
Liebe Grüße,
Hanno
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