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orthogonales Komplement: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Di 29.05.2012
Autor: eddiebingel

Aufgabe
Sei [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] eine Bilinearform, die bezüglich der Standard-Basis in [mm] \IR^{2} [/mm] die Matrixdarstellung [mm] M(\phi, (e_{1},e_{2})) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 10 \\ 1 & 5 } [/mm] besitzt. Zeige oder widerlege [mm] \phi [/mm] ist nichtausgeartet. Bestimme anschließend
[mm] (\IR^{2})^{\perp} [/mm] = { v [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] \phi [/mm] (u,v) = 0 für alle u [mm] \in \IR^{2} [/mm] }

Hallo zusammen hab gezeigt dass [mm] \phi [/mm] ausgeartet ist, da die Determinante von [mm] M(\phi, (e_{1},e_{2})) [/mm]  = 0 jetzt muss ich das orthogonale Komplement bestimmen aber weiss in dem Fall nicht wie ich dass mache, da ich hier keine Vorschrift für die Bilinearform habe. Hoffe ihr könnt mir helfen

lg eddie



        
Bezug
orthogonales Komplement: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Di 29.05.2012
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Sei [mm]\phi[/mm] : [mm]\IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] eine Bilinearform, die
> bezüglich der Standard-Basis in [mm]\IR^{2}[/mm] die
> Matrixdarstellung [mm]M(\phi, (e_{1},e_{2}))[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 10 \\ 1 & 5 }[/mm]
> besitzt. Zeige oder widerlege [mm]\phi[/mm] ist nichtausgeartet.
> Bestimme anschließend
>  [mm](\IR^{2})^{\perp}[/mm] = [mm] \{ v \in \IR^{2} : \phi (u,v) = 0 für alle u \in \IR^{2}\} [/mm]
>  Hallo zusammen hab gezeigt dass [mm]\phi[/mm] ausgeartet ist, da
> die Determinante von [mm]M(\phi, (e_{1},e_{2}))[/mm]  = 0 jetzt muss
> ich das orthogonale Komplement bestimmen aber weiss in dem
> Fall nicht wie ich dass mache, da ich hier keine Vorschrift
> für die Bilinearform habe. Hoffe ihr könnt mir helfen

Sei [mm] A:=\pmat{ 2 & 10 \\ 1 & 5 }, u=(u_1,u_2)^t, v=(v_1,v_2)^t. [/mm]

Dann soll für alle [mm] u\in\IR^2 [/mm] gelten

     [mm] $0=\phi(u,v) =v^t [/mm] A u$

Rechne die rechte Seite aus, indem Du [mm] u_1,u_2,v_1,v_2 [/mm] einsetzt.
Du bekommst ein Gleichungssystem, dass Du lösen musst.

LG

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