orthogonale matrix best. gesta < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 15.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Konstruieren Sie zu der Matrix
A :=
[mm] \pmat{ \bruch{4}{5} & 0& \bruch{-3}{5} \\ \bruch{-9}{25} & \bruch{4}{5} & \bruch{-12}{25}\\\bruch{12}{25}& \bruch{3}{5} & \bruch{16}{25} }
[/mm]
eine orthogonale Matrix S derart, dass [mm] S^{-1}AS [/mm] folgende Form hat:
[mm] S^{-1}AS [/mm] = [mm] \pmat{ +/- 1& 0 & 0\\ 0 & x & -y \\ 0 & y & x} [/mm] |
Hallo!
Hm, ich weiss wie man basen orthogonalisiert und eine orthogonale Diagonalmatrix herstellt, aber etwas von diesem aufgabentyp hatten wir noch nicht.
was mir noch bei orhonormalisieren einfällt wäre eine [mm] Q_R [/mm] zerlegung, hat es was damit zu tun?
tips?
vielen dank
lg muhmuh
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V sei [mm] \IR^3 [/mm] mit f [mm] \in [/mm] End(V)
Du gehst ähnlich dem diagonalisieren vor. Zuerst müsstest du das charakteristische Polynom ausrechnen.
Meines ist dieses
[mm] \lambda^3-(56/25)*\lambda^2+(56/25)*\lambda-1
[/mm]
Dieses Null setzen und die Eigenwerte bestimmen. Es muss der Eigenwert 1 oder -1 dabei sein.
Zu diesem Eigenwert e rechnest du den Eigenraum aus und bildest zu diesem eine Orthonormalbasis [mm] b_1.
[/mm]
Du müsstest einen Satz beim Studium gehabt haben, dass [mm] V=W\oplus W^\perp. [/mm] Also ergänzt du deinen Basisvektor um zwei weitere Vektoren [mm] c_2,c_3, [/mm] so dass sie zusammen den ganzen Raum aufspannen [mm] V=span(b_1,c_2,c_3). [/mm] Dann Gram-Schmidt zum orthoganisieren drüber setzen. Du erhälst die ONB [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] von V.
Deine Funktion f über die letzten 2 Basisvektoren [mm] b_2, b_3 [/mm] drüber setzen und das Ergebnis als Linearkombination von [mm] b_2,b_3 [/mm] interpretieren
[mm] f(b_2) [/mm] = [mm] x_1*b_2 [/mm] + [mm] x_2*b_3
[/mm]
[mm] f(b_3) [/mm] = [mm] x_3*b_2 [/mm] + [mm] x_4*b_3
[/mm]
Deine Matrix sollte so aussehen:
[mm] \pmat{ e &0 & 0 \\ 0&x_1&x_3\\ 0& x_2 &x_4 }
[/mm]
[mm] x_i [/mm] mit i=1,..,4 sollte kann so aussehen, dass du einen Sinus und cosinus draus bauen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Di 16.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hallo,
vielen dank für deine ausführliche antwort.
habe nun noch eine frage,
und zwar habe ich nun
die orthonormalissierten basisvektoren von V mit
[mm] b_1= \bruch{1}{\wurzel{3}}*(-1,1,1)
[/mm]
[mm] b_2= \bruch{1}{\wurze{6}}*(1,2,-1)
[/mm]
[mm] B_3= \bruch{1}{\wurzel{2}}*(1,0,1)
[/mm]
hab auch überprüft ob sie tatsächlich linear unabhängig sind und wenn cih mich nicht verrechnet habe, passt das so.
nun ist die frage, du redest von einer funktion f, auf die ich die vektoren anwenden soll, welche ist dies?
meint das die funktion für die abbildungsmatrix?
also
f:V->V (a,b,c) -> (4/5 a - 3/5 c, -9/25 a + 4/5b -12/25 c, 12/25 a+ 3/5 b+ 16/25 c) ?
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Genau. Deine Abbildungsmatrix A ist ja grob gesagt nur eine andere Schreibweise der Funktion F.
Also du hast deine [mm] b_2,b_3 [/mm] bestimmt. Falls [mm] b_2=\vektor{a \\ b\\c}
[/mm]
[mm] f(b_2) \hat= A\vektor{a \\ b\\c}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Di 16.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok,
habe das nun angewendet
und für [mm] x_1= \bruch{43}{50}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{27}{50}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{-21}{50} [/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \bruch{31}{50}
[/mm]
sie dann wie du gesagt hast in die matrix anzuordnen ist klar,
hab nur noch nicht verstanden, warum das so ist.
für eine kurze erklärung wäre ich dankbar, aber rechnerisch ist es klar.
lg
muhmuh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 16.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
So ganz kann das ja nicht hinhauen: Deine Matrix sollte ja so aussehen:
$ [mm] \pmat{ +1& 0 & 0\\ 0 & x & -y \\ 0 & y & x} [/mm] $
also mit Index
$ [mm] \pmat{ +1& 0 & 0\\ 0 & x_1 & x_2 \\ 0 & x_3 & x_4} [/mm] $
Wobei [mm] x_2 [/mm] = [mm] -x_3. [/mm] Das ist bei dir nicht der Fall.
Ich hab 1 als einen Eigenwert.
Wenn ich mir genauer deine Matrix A anschaue denke ich eher an einen Tippfehler. Meines Wissen nach lässt sich jede Matrix A mit [mm] S\inO(n) [/mm] in die gewünschte Form bringen, solange sie selber in O(n) liegt. Wobei O(n) bei mir die Orthogonale Gruppe des Grades n ist. Das heißt bei dir konkret, dass A auch [mm] \in [/mm] O(3) liegen sollte. Ein schneller Test [mm] AA^T=1_3 [/mm] sagt mir, dass dies bei dir nicht gilt, also ist [mm] A\notin [/mm] O(n).
Warum das Prinzip funktioniert?
Wenn V endl-dim eukli. VR ist und f [mm] \in [/mm] O(V), dann gibt es eine ONB von V bzgl der Matrix von f, welches die Form hat:
[mm] \pmat{ cos(\phi_1) & -sin(\phi_1) & 0\ldots0\\ sin(\phi_1) & cos(\phi_1) & 0\ldots0\\ 0 & 0 & \pm1& \\ 0\ldots0 }
[/mm]
Also grob so ein paar Vierkästchen und dann 1 oder -1 auf Hauptdiagonale.
Das wäre der allgemeine Fall, auf den man die Aufgabe zurückführen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Di 16.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm ok,
dann hab cih wahrscheinlich irgendwo einen kleinen fehler.werdejetzt aber aus zeitmangel nciht mehr nachschauen wo genau.
vielen dank aber für deine hilfe, habe nun verstanden wie es funktioniert
und auch warum:)
lg
muhmuh
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 16.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich hab mich auch an der Aufgabe versucht. Kapiere aber nicht wieo man die Eigenwerte bestimmen muss und dann von einem Eigenvektor zum Eigenwert +1/-1 davon eine orthogonale Basis in ganz V machen soll.
Also [mm] S^{-1} [/mm] * A * S = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -y \\ 0 & y & x}
[/mm]
Normalerweise rechnet man doch bei der Form [mm] S^{-1} [/mm] * A * S eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen aus. Hier gibt es jetzt eine Givensrotation. D.h. man kann jede orthogonale Matrix A in eine Givensrotation umwandeln? Ist meine Feststellung richtig?
Ich kapiere hald trotzdem nicht wieso man das so macht wie du es hier gezeigt hast. Eine Antwort wäre klasse.
Gruss Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Di 16.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
Bei einer symmetrischen quadratischen Matrix A kann man ein S [mm] \in [/mm] O(n) konstruieren, sodass [mm] S^{-1}AS [/mm] = D eine Diagonalmatrix ist. Ja, das war aber oben nicht der Fall. Außerdem war die Form vorgegeben.
Außerdem: das char. Polynom ist
[mm] (1/25*(\lambda-1))*(25*\lambda^2-31*\lambda+25)
[/mm]
Wobei ich nur 1 als rellen Eigenwert erkenne. Ich kann nur vom Rellen sprechen, wo es sich nicht so einfach diagonalisieren lässt.
Ich hab als Eigenwerte:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] 31/50+(9/50*I)*\wurzel{19}, \lambda_3 [/mm] = [mm] 31/50-(9/50*I)*\wurzel{19}$
[/mm]
Eventuell kann man die komplexen Eigenwerte mit [mm] e^{ix} [/mm] darstellen. Da
[mm] \overline{\lambda_2}=\lambda_3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Di 16.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hm, also eben, wenn ich das nicht falsch verstehe ist es egal welchen Eigenwert man von den dreien nimmt?
Die Eigenwerte hab ich mit matlab natürlich die Gleichen raus...einfache Sache mit matlab^^
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
es dürfte nicht egal sien welchen eigenwert du nimmst,
da oben links in der ecke
ja die bedingung ist dass dort +/- 1 stehen soll
wenn ich das richtig verstanden habe.
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> Hallo,
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> Ich hab mich auch an der Aufgabe versucht. Kapiere aber
> nicht wieo man die Eigenwerte bestimmen muss und dann von
> einem Eigenvektor zum Eigenwert +1/-1 davon eine
> orthogonale Basis in ganz V machen soll.
>
> Also [mm]S^{-1}[/mm] * A * S = [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -y \\ 0 & y & x}[/mm]
>
> Normalerweise rechnet man doch bei der Form [mm]S^{-1}[/mm] * A * S
> eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen
> aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Würde hier aufgrund komplexer Eigenwerte nebst 1 als reeller Eigenwert nicht im Reellen gehen.
> Hier gibt es jetzt eine Givensrotation. D.h. man kann
> jede orthogonale Matrix A in eine Givensrotation umwandeln?
Man kann jede Orthogonale Matrix als Produkt von Spiegelungen beschreiben.
> Ist meine Feststellung richtig?
>
> Ich kapiere hald trotzdem nicht wieso man das so macht wie
> du es hier gezeigt hast. Eine Antwort wäre klasse.
>
>
> Gruss Christian
In meiner obigen Mitteilung, hatte ich geschrieben, dass es eine ONB von V bzgl. der Matrix von f mit der Form ( schau mal unter http://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_orthogonale_Gruppe#Auswirkungen_auf_orthogonale_Matrizen) Die Form ist ein bisschen größer.
Im Beweis ( Induktion über Dimension)
n=1 trivial
für n=2 gibt es zwei Formen:
[mm] \pmat{ +1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] oder [mm] \pmat{ cos\phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi } [/mm] Spiegelung oder Drehung.
n>3 Betrachtet man $g := f [mm] +f^{-1}$ [/mm] also $B = A + [mm] A^{-1} [/mm] = A + [mm] A^T$
[/mm]
Wegen Induktion versucht man die Abbildung f zu zwei Abbildungen [mm] f_U [/mm] und [mm] f_W [/mm] einzuschränken.
Daher konstruiert man zwei Vektorräume $U$ und $W := [mm] U\perp$ [/mm] Wobei $V = U [mm] \oplus [/mm] W$. Nach Induktion existieren nun ONB sodass die gesuchte Form entsteht.
Das ist der Grund, warum zu einem Basisvektor noch orthogonale Basisvektoren gesucht werden.
Ich hoffe einigermaßen verständlich geschrieben zu haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mi 17.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
...Danke !!!
Ja es ist schwierig deine Sätze zu verstehen - sie sind etwa auf dem Level wie mein Lineare Algebra Theorie Buch (voll mit unötigen bis hin zu ober schwierigen Beweisen). Aber dass soll keine Beleidigung sein, ich will ja was lernen...das heisst nur dass du es gut verstehst...
Ich versuchs mal zu verstehen...falls ich noch Fragen hab werd ich nochmals fragen.
Gruss&Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 02.03.2010 | | Autor: | aeiou101 |
Ich habe auch eine Frage zu der Aufgabe. Oben wird ja gesagt, dass eine orthogonale Matrix S derart konstruiert werden soll, dass $ [mm] S^{-1} [/mm] $ * A *S die oben beschriebene Form haben soll. Aber was ist dann S? Ergibt sich S aus [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3} [/mm] oder aus f(b)?
Wäre nett, wenn mir das jemand beantworten könnte.
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> Ich habe auch eine Frage zu der Aufgabe. Oben wird ja
> gesagt, dass eine orthogonale Matrix S derart konstruiert
> werden soll, dass [mm]S^{-1}[/mm] * A *S die oben beschriebene Form
> haben soll. Aber was ist dann S? Ergibt sich S aus [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/mm]
> oder aus f(b)?
>
> Wäre nett, wenn mir das jemand beantworten könnte.
Ja dein S besteht aus [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/mm] als Spalten
und dein D besteht aus 1,-1 und [mm] f(b_2),f(b_3) [/mm] als LK von [mm] b_2,b_3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Di 02.03.2010 | | Autor: | aeiou101 |
Danke für die Antwort wieschoo.
Das habe ich alles so, dh ich muss nur etwas in der Proberechnung falsch gemacht haben =)
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