orthogonale matrix A, einer sp < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Sa 09.07.2005 | | Autor: | atilla |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitt um hilfe. Schreibe am Montag eine wichtige Klausur.Die Aufgabe lautet : Bestimmen Sie die orthogonale Matrix A, die im R2 eine Spiegelung an der Geraden y= -2x beschreibt.
Versuche seit Stunden diese aufgabe zu lösen. habe für x 1 eingesetzt.aber wie gehts weiter.weiß auch das ich die Einheitsmatrix brauche.
Wäre echt nett , wenn mich einer von dieser Aufgabe erlösen würde. DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bezüglich der ON-Basis [mm] $B=\left\{ \pmat{\frac{1}{\sqrt{5}} \\ - \frac{2}{\sqrt{5}}}, \pmat{\frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}}} \right\}$
[/mm]
hat die Spiegelung $A$ offenbar die folgende Gestalt:
[mm] $M_B^B(A) [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}$
[/mm]
(denn ein Vektor, der die Spiegelachse aufspannt, wird auf sich selbst abgebildet; ein Vektor, der senkrecht darauf steht, auf das Negative von sich selbst).
Nun kannst du [mm] $A=M_{E_2}^{E_2}(A)$ [/mm] wie folgt mit Hilfe der Transformationsformel berechnen, wobei [mm] $E_2$ [/mm] die kanonische Standardbasis [mm] $\{e_1,e_2\}$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreibt:
$A= [mm] M_{E_2}^{E_2}(A) [/mm] = [mm] M_{B}^{E_2}(id_{\IR^2}) \cdot M_B^B(A) \cdot M_{E_2}^B(id_{\IR^2}) [/mm] = [mm] \pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}} \cdot \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} \cdot\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}}^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}} \cdot \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} \cdot \pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}} [/mm] = [mm] \pmat{ - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5}}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Sa 09.07.2005 | | Autor: | atilla |
Hallo Stefan,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Habe es verstanden.
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