offene Überdeckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:42 Di 14.11.2006 | | Autor: | mayorKjr. |
| Aufgabe | Geben Sie explizit eine offene Überdeckung von Q ^ [0; 1] an, die keine
endliche Teil¨uberdeckung besitzt (mit Beweis). |
Also ich vermute mal, dass das was damit zu tun hat, dass (1) zwischen je zwei reelen Zahlen eine rationale Zahl liegt und die offene Überdeckung ja Teilmenge von R sein muss.
Ich hätte jetzt erstmal gesagt, dass Q ^[0,1]in R nicht kompakt ist, da es nicht abgeschlossen ist, wegen (1).
Aber wir sollen ja explizit so eine Überdeckung angeben. Hat da jemand nen Tipp wie ich da rangeh?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruss!
Du könntest ausnutzen, dass [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1]$ abzählbar ist... also nimm Dir eine Aufzählung [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1] = [mm] \{q_1, q_2, q_3, \ldots \}$ [/mm] und betrachte offene Bälle um die [mm] $q_i$ [/mm] mit Durchmessern, die "klein genug" sind.
Die Idee ist die Folgende: wenn der Ball um [mm] $q_i$ [/mm] den Durchmesser [mm] $d_i$ [/mm] hat, dann ist das "überdeckte Volumen" der ersten $n$ gerade
[mm] $\sum_{i=1}^n d_i$
[/mm]
Sind die [mm] $d_i$ [/mm] nun eine Nullfolge derart, dass die entstehende Reihe gegen eine Zahl kleiner 1 konvergiert, dann kann keine endliche Teilüberdeckung existieren.
Die Details überlasse ich Dir.  Viel Erfolg!
Lars
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