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offene Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Do 23.08.2012
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Mir ist aufgefallen, dass seit am Anfang von AnalysisII die offene Menge definiert wurde (im Zusammenhang mit der Topologie) in allen Definitionen und Sätzen die Voraussetzung gegeben ist, dass alle Mengen offen sind.
Jetzt frage ich mich, warum das so ist! Hat das einen bestimmten Grund und könnten die meisten Sachen so nicht gemacht werden, wenn die Mengen abgeschlossen oder keins von beidem wären?

Wäre toll, wenn mir das jemand beantworten könnte!
Grüßle, Lily :-)

        
Bezug
offene Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 23.08.2012
Autor: fred97


> Hallo!
>  Mir ist aufgefallen, dass seit am Anfang von AnalysisII
> die offene Menge definiert wurde (im Zusammenhang mit der
> Topologie) in allen Definitionen und Sätzen die
> Voraussetzung gegeben ist, dass alle Mengen offen sind.

Wirklich in allen ? Das glaub ich nicht.


>  Jetzt frage ich mich, warum das so ist! Hat das einen
> bestimmten Grund und könnten die meisten Sachen so nicht
> gemacht werden, wenn die Mengen abgeschlossen oder keins
> von beidem wären?

Gib mal einige Kostproben, dann sehen wir weiter.

FRED

>  
> Wäre toll, wenn mir das jemand beantworten könnte!
>  Grüßle, Lily :-)


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Bezug
offene Mengen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:23 Do 23.08.2012
Autor: Mathe-Lily


> > Hallo!
>  >  Mir ist aufgefallen, dass seit am Anfang von AnalysisII
> > die offene Menge definiert wurde (im Zusammenhang mit der
> > Topologie) in allen Definitionen und Sätzen die
> > Voraussetzung gegeben ist, dass alle Mengen offen sind.
>  
> Wirklich in allen ? Das glaub ich nicht.
>  
>
> >  Jetzt frage ich mich, warum das so ist! Hat das einen

> > bestimmten Grund und könnten die meisten Sachen so nicht
> > gemacht werden, wenn die Mengen abgeschlossen oder keins
> > von beidem wären?
>  
> Gib mal einige Kostproben, dann sehen wir weiter.
>  

Bereich "partielle Ableitungen":

Sei [mm] U\in \IR^{n} [/mm] offen und [mm] f:U\to \IR^{m}. [/mm] Die partielle Ableitung von f nach [mm] x_{j} [/mm] an der Stelle [mm] x\in [/mm] U ist der Grenzwert (falls existent) [mm] D_{j}f(x)=lim_{t\to 0}\bruch{f(x+te_{j})-f(x)}{t}. [/mm]

Klar, bei den Ableitungsregeln ist dann U auch offen.

Insgesamt sind dann bei der Definition von den [mm] C^{k}- [/mm] Räumen und der Ableitung und den Sätzen dazu immer alles offen. Das ist ja auch irgendwie klar, wenn die Grundstruktur in einer offenen Menge definiert ist.

Ok, beim Maximum ist das nicht vorausgesetzt.

Aber bei den Konvexitätskriterien wieder.

Bei der eindimensionalen Taylorentwicklung ist es nicht, bei der mehrdimensionalen dann aber wieder.

Das nächste Thema sind dann die Paramterintegrale.
Bei der Stetigkeit von Parameterintegralen ist die Offenheit der Menge wieder vorausgesetzt:
Sei [mm] f\in C^{0}(UxI), [/mm] f=f(x,y), wobei [mm] U\in \IR^{n} [/mm] offen und I=[a,b] kompakt. Dann ist die Funktion [mm] \gamma:U\to \IR, \gamma(x)=\integral_{I}{f(x,y) dy} [/mm] wohldefiniert und stetig.

Dasselbe bei der Differentiation.

Bei der Kurvenintegral-Definition, beim Gradientenfeld und bei allem weiteren, das mit dem Kurvenintegral zu tun hat, auch wieder.

Bei der Definition von Homotopie nicht, aber bei der Homotopieformel schon wieder. Ebenso alles, was weiter mit Homotopie zu tun hat.

...

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offene Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Fr 24.08.2012
Autor: felixf

Moin Lily!

> > >  Jetzt frage ich mich, warum das so ist! Hat das einen

> > > bestimmten Grund und könnten die meisten Sachen so nicht
> > > gemacht werden, wenn die Mengen abgeschlossen oder keins
> > > von beidem wären?

In den meisten Faellen braucht man die Voraussetzung nicht umbedingt. Wenn man sie allerdings weglassen bzw. abschwaechen will, wird es meist muehsam, da man alle moeglichen "schlechten" Ausnahmen ausschliessen muss.

> > Gib mal einige Kostproben, dann sehen wir weiter.
>  >  
> Bereich "partielle Ableitungen":
>  
> Sei [mm]U\in \IR^{n}[/mm] offen und [mm]f:U\to \IR^{m}.[/mm] Die partielle
> Ableitung von f nach [mm]x_{j}[/mm] an der Stelle [mm]x\in[/mm] U ist der
> Grenzwert (falls existent) [mm]D_{j}f(x)=lim_{t\to 0}\bruch{f(x+te_{j})-f(x)}{t}.[/mm]

Fuer die Definition der Ableitung wuerde es reichen, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $t [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|r| < [mm] \varepsilon$ [/mm] und $x + t [mm] e_j \in [/mm] U$ gibt. Dann macht der Limes "Sinn" und man kann schauen ob er existiert. Aber stell dir mal vor in der Voraussetzung wuerde jetzt nicht einfach "$U$ offen" sondern "$U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] U$ mit $0$ ein Haeufungspunkt von [mm] $\{ t \in \IR \mid x + t e_j \in U \}$" [/mm] stehen wuerde. Das sieht nicht nur furchtbar aus (gerade fuer Anfaenger, die das das erste Mal sehen), sondern ist auch muehsam um damit zu arbeiten (nicht nur, weil man mehr schreiben muss).

Bei der totalen Differenzierbarkeit ist es wiederum wichtig, dass in genuegend viele Richtungen unendlich viele Punkte nahe beim Punkt ist bei den man die Differenzierbarkeit definieren will. Andernfalls kann es z.B. vorkommen, dass die totale Ableitung gar nicht eindeutig ist! Betrachte etwa die Funktion $f(x, y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] auf $U = [mm] \{ (x, 0) \mid x \in \IR \}$. [/mm] Die ist in jedem Punkt von $U$ total differenzierbar (wenn man die Definition 1:1 uebernimmt), jedoch ist die Ableitung nicht eindeutig, da die lineare Abbildung in $y$-Richtung machen kann was sie will. Definieren kann man das ganze also schon, aber es koennen Dinge passieren die das ganze sehr muehsam und viel komplizierter machen.

Deswegen beschraenkt man sich auf innere Punkte von $U$ (dann ist eine ganze Umgebung davon in $U$ enthalten), und wenn man es fuer jeden Punkt aus $U$ machen will muss jeder Punkt ein innerer sein, was gerade der Fall ist wenn $U$ offen ist.

> Insgesamt sind dann bei der Definition von den [mm]C^{k}-[/mm]
> Räumen und der Ableitung und den Sätzen dazu immer alles
> offen. Das ist ja auch irgendwie klar, wenn die
> Grundstruktur in einer offenen Menge definiert ist.

Man kann es auch ohne Offenheit machen (mit passenden Einschraenkungen, wie etwa oben). Aber schoener wird es dadurch nicht.

> Ok, beim Maximum ist das nicht vorausgesetzt.
>  
> Aber bei den Konvexitätskriterien wieder.

Da verwendet man die Ableitung, und fuer die hat man am Anfang eine offene Menge vorausgesetzt. Wenn man sich also nicht mit allen Problemen herumschlagen will, die beim Verzicht auf offene Mengen auftreten, muss man auch hier wieder Offenheit fordern.

> Bei der eindimensionalen Taylorentwicklung ist es nicht,
> bei der mehrdimensionalen dann aber wieder.
>  
> Das nächste Thema sind dann die Paramterintegrale.
>  Bei der Stetigkeit von Parameterintegralen ist die
> Offenheit der Menge wieder vorausgesetzt:
>  Sei [mm]f\in C^{0}(U \times I),[/mm] f=f(x,y), wobei [mm]U\in \IR^{n}[/mm] offen
> und I=[a,b] kompakt. Dann ist die Funktion [mm]\gamma:U\to \IR, \gamma(x)=\integral_{I}{f(x,y) dy}[/mm]
> wohldefiniert und stetig.

Auch hier braucht man nicht umbedingt, dass $U$ offen ist. Es macht das ganze aber etwas einfacher.

Aehnlich beim Rest...

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
offene Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:56 Fr 24.08.2012
Autor: SEcki


> Fuer die Definition der Ableitung wuerde es reichen, wenn
> es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]t \in \IR[/mm] mit [mm]|r| < \varepsilon[/mm]
> und [mm]x + t e_j \in U[/mm] gibt. Dann macht der Limes "Sinn" und
> man kann schauen ob er existiert.

Die Definitionen sind dann aber nicht äquivalent - das sollte man wissen! Also insbesondere kann eine Funktion durch Einschränkung dann partiell diffbar werden. (Anmerkung: üblicherweise, wenn U nicht offen ist als Def.bereich, verlangt man, wenn man doch von partiell diff.bar sprechen möchte, eine Fortsetzung auf eine offene Umgebung, die dann wie üblich partiell diff.bar ist.).

Das ganze macht also mehr Probleme, als das es löst. ;-)

SEcki

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Bezug
offene Mengen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 26.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
offene Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Fr 24.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!
>  Mir ist aufgefallen, dass seit am Anfang von AnalysisII
> die offene Menge definiert wurde (im Zusammenhang mit der
> Topologie) in allen Definitionen und Sätzen die
> Voraussetzung gegeben ist, dass alle Mengen offen sind.

Gegenbeispiel: Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihr Maximum
und ihr Minimum an.

Es bleibt nun offen, wo da was von offenen Mengen in der Voraussetzung steht? ;-)

P.S. Kompakte Mengen sind in Hausdorffräumen immer abgeschlossen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
offene Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:33 Fr 24.08.2012
Autor: felixf

Moin,

> P.S. Kompakte Mengen sind in Hausdorffräumen immer
> abgeschlossen!

was mit ein Grund ist, warum man sich in Analysis I+II (fast) immer in Hausdorffraeumen aufhaelt ;-)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
offene Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Fr 24.08.2012
Autor: Mathe-Lily

Ich danke euch allen für eure Mühe! :-)

Letztendlich setzt man also oft offene Mengen voraus, damit man nicht andere Sachen voraussetzen muss, mit denen es dan schwerer wäre zu arbeiten...

Bezug
                                
Bezug
offene Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Fr 24.08.2012
Autor: Marcel

Hallo Lily,

> Ich danke euch allen für eure Mühe! :-)
>  
> Letztendlich setzt man also oft offene Mengen voraus, damit
> man nicht andere Sachen voraussetzen muss, mit denen es dan
> schwerer wäre zu arbeiten...

das ist eine komische Argumentation. Streng genommen würde ich es so
sehen: Meist setzt man (bei Euch) wohl voraus, dass man offene Mengen
betrachtet, weil es allgemein genug ist, und eine weitere Verallgemeinerung
wohl entweder nicht so ohne weiteres möglich ist, oder aber, weil man
dann vermutlich so kompliziert wird, dass sich keiner das bzw. den
Studierenden antun will. Oder sehe es halt so: Mit offenen Mengen zu
arbeiten ist doch schon recht allgemein - wenn man das verstanden hat,
hat man schon was geleistet. Wenn man mehr leisten will (weil man mehr
braucht - warum auch immer), kann man sich doch immer noch schrittweise
herantasten und versuchen, allgemeiner zu werden. Natürlich kann man
auch das ganze umgekehrt angehen, aber das ist doch eher der
"unnatürlichere" Weg.

Bsp.: Man kann/könnte direkt in der ersten Vorlesung in Analysis, vll.
nachdem man kurz etwas über die Zahlenmengen und weitere
elementare Grundlagen gelehrt hat, direkt mit Folgen etc. in metrischen
Räumen arbeiten - den Begriff der Konvergenz da definieren etc. pp..
Ist auch okay, man lehrt direkt abstraktes und in den Übungsaufgaben
lernt man dann deren Anwendung auf Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] etc., und wo da die
Zusammenhänge sind. Die meiner Meinung nach "natürlichere Entwicklung"
war aber sicher eher so, dass man sich mit Folgen in [mm] $\IN\,,$ $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm]
und [mm] $\IC$ [/mm] beschäftigte und nach einer möglichst allgemeinen Struktur
gesucht hatte, die das Wichtigste davon irgendwie "zusammenfasst".
Dann kam man durch "Abstandsbetrachtungen" halt auf die fundamentalen
Eigenschaften, von denen wir heute sagen, dass diese eine Metrik definieren
sollen (Definitheit, Symmetrie und Dreiecksungleichung). Und mit dieser
Betrachtung hat man dann gemerkt, wie allgemein man eigentlich werden
kann. Jedenfalls kann ich mir gut vorstellen, dass die Entwicklung in dieser
Richtung stattgefunden hat (was nicht heißen soll, dass es auch anders
gehen kann oder vll. gar gegangen war - ich kenne den historischen Verlauf
da nicht genau).

Allerdings, wie gesagt: Das mal so rein spekulativ, wie so eine Entwicklung
vll. stattgefunden hat. Wenn ich mich dran erinnere, wie Euler gearbeitet
haben soll, denke ich jedenfalls, dass diese Entwicklungsmöglichkeit
durchaus naheliegend ist. In der Gruppentheorie wiederum habe ich auch
ähnliches mal gelesen:
"Ursprünglich fasste man die Gruppentheorie auf als das Studium nichtleerer, multiplikativ
abgeschlossener Teilmengen U ⊆ Sn – das sind endliche Permutationsgruppen.
Erst die abstrakte Axiomatisierung durch Cayley verhalf der Gruppentheorie zum
entscheidenden Durchbruch." (Algebra - Meyberg,Karpfinger, Seite 27).

Aber natürlich kannst Du Dich immer fragen: Kann ich die Voraussetzungen
des Satzes/Lemmas/... abschwächen?

Ein ganz einfaches Beispiel: Ich kann beim Mittelwertsatz auch fordern:
Es sei $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar. Dann gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ mit [mm] $f\,'(\xi)=(f(b)-f(a))/(b-a)\,.$ [/mm]

Beweisen kann ich das so, wie es getan wird. Ein kleine Beweisanalyse
zeigt mir aber, dass ich die Differenzierbarkeit in [mm] $a\,$ [/mm] (was hier ja nichts
anderes als rechtsseitige Diff'barkeit bedeutet) und [mm] $b\,$ [/mm] (also die linkss.
Diff'barkeit) gar nicht brauche, sondern, dass dort die Stetigkeit ausreicht.
Also sagt man "nur" noch: Sei $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig und sei [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar
auf [mm] $(a,b)\,.$ [/mm] ...

P.S.
Beispielsweise ist $f: x [mm] \mapsto x*\sin(1/x)=:f(x)$ [/mm] stetig auf [mm] $[0,1]\,,$ [/mm] wenn man [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] definiert, aber nicht differenzierbar in [mm] $0\,.$ [/mm] Der
Mittelwertsatz der Diff.-Rechnung ist hier also in der letztstehenden
Fassung anwendbar - in der erststehenden wäre er es nicht gewesen -
also rein formulierungsmäßig.

Gruß,
  Marcel

Bezug
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