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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen ist offen in [mm] \IR [/mm] mit der durch den Betrag | . |
erzeugten Topologie?
(0,1) [mm] \cup [/mm] {2}; [mm] (0,1)\cup(0,2) [/mm] ; [mm] \bigcup_{n \in\IN}^{} [/mm] (0,1/n) ;
[mm] \bigcap_{n \in\IN}^{} [/mm] (0,1/n) |
Meine Frage richtet sich bezüglich der Angabe.
Warum kann eine Norm eine Topolgie erzeugen?
Ich hatte mir immer gedacht dass eine Topologie durch eine Metrik erzeugt wird...
Oder gehts dehalb weil eine Metrik durch eine Norm erzeugt wird und das Ganze sozusagen abwärtskompatibel ist?
mfg,
Reaper
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Welche der folgenden Mengen ist offen in [mm]\IR[/mm] mit der durch
> den Betrag | . |
> erzeugten Topologie?
> (0,1) [mm]\cup[/mm] {2}; [mm](0,1)\cup(0,2)[/mm] ; [mm]\bigcup_{n \in\IN}^{}[/mm]
> (0,1/n) ;
> [mm]\bigcap_{n \in\IN}^{}[/mm] (0,1/n)
> Meine Frage richtet sich bezüglich der Angabe.
> Warum kann eine Norm eine Topolgie erzeugen?
> Ich hatte mir immer gedacht dass eine Topologie durch eine
> Metrik erzeugt wird...
>
> Oder gehts dehalb weil eine Metrik durch eine Norm erzeugt
> wird und das Ganze sozusagen abwärtskompatibel ist?
Genau deswegen geht es. Du musst also bei jeder Menge $M$ zu jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ schauen, ob es eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um $x$ in $M$ gibt mit Radius [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, oder halt zeigen das es zu einem $x$ mit jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ nicht gilt.
LG Felix
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