offene Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Fr 14.07.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Hallo. Es ist zu bestimmen ob folgende Menge offen ist oder nicht mit Begründung.
[mm]M=\{(x,y)\in\IR^{2}:xy=1\}[/mm]
Ich denke, ich kann das erstmal umschreiben als
[mm]M=\{(x,\bruch{1}{x}):x\in\IR\setminus\{0\}\}[/mm]
Nun muss es also für jedes [mm] m \in M [/mm] ein [mm] \varepsilon > 0 [/mm] geben, so dass [mm] B(m,\varepsilon) \subset M [/mm] ist.
Jetzt die Frage: Welche Metrik ist denn hier nun anzuwenden? Muss man es für jede Metrik zeigen, oder kann man sich eine beliebige heraussuchen? Nähme man beispielsweise die triviale Metrik (0, falls x=y in d(x,y) und 1, falls x ungleich y), so ist doch jede Menge offen, da man sich [mm] \varepsilon [/mm] als 0,5 wählen kann, es gilt dann x=y und B ist auf jeden Fall in der Menge, da ja x in der Menge ist. Muss man solche Probleme wirklich immer auf diese Weise zeigen? Unter Umständen wird es doch voll schwierig diese Ungleichungen, die beim Betrachten der Kugel entstehen, aufzulösen. Ich danke sehr für die Hilfe. Gruß
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Moin Tim,
es ist [mm] f\colon\IR^2\to\IR,\: f(x,y)=x\cdot [/mm] y eine stetige Abbildung.
Weiter ist [mm] \{1\} [/mm] eine kompakte, insbesondere abgeschlossene Teilmenge des [mm] \IR.
[/mm]
Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind abgeschlossen.
Gruss,
Mathias
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