ober/untersumme vereinfachung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{1}^{3}{x^{2}dx} [/mm] über die Obersumme und Untersummen |
Hallo!
Es geht eigentlich nur um eine kleine frage,
und zwar habe ich:
$ \ [mm] x_k\ [/mm] =\ [mm] x_0+k\cdot{}h\ [/mm] =\ [mm] 1+\frac{2\,k}{n} [/mm] $
$ \ [mm] f(x_k)\ [/mm] =\ [mm] {x_k}^2\ [/mm] =\ [mm] \left(1+\frac{2\,k}{n}\right)^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{4\,k}{n}+\frac{4\,k^2}{n^2} [/mm] + 1 $
Für den Limes der Obersummengilt daher:
$ \ [mm] \limes_{n\to\infty}OS_n\ [/mm] =\ [mm] \limes_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot{}\left(\frac{4\,k}{n}+\frac{4\,k^2}{n^2}+1\right) [/mm] $
und weiter
$ \ =\ [mm] \limes_{n\to\infty}\left(\frac{8}{n^2}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k+\frac{8}{n^3}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k^2 + \bruch{2}{n}\right)$
[/mm]
und hier ist mein Problem, der hintere Part viele ja weg, und dadurch
komme ich ja auf ein falsches Ergebnis,
wenn ich die Summenformeln einsetze.
Denn das würde ergeben mit dem
lim n-> [mm] \infty [/mm] = 4 + [mm] \bruch{8}{3} [/mm] + 0
und da steckt in der letzten zeile vor dem Limes irgendwo ein fehler, wo ich nicht weiss wie ich ihn beheben muss.
danke fuers drüberschauen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{1}^{3}{x^{2}dx}[/mm] über
> die Obersumme und Untersummen
> Hallo!
>
> Es geht eigentlich nur um eine kleine frage,
> und zwar habe ich:
>
> [mm]\ x_k\ =\ x_0+k\cdot{}h\ =\ 1+\frac{2\,k}{n}[/mm]
>
> [mm]\ f(x_k)\ =\ {x_k}^2\ =\ \left(1+\frac{2\,k}{n}\right)^2\ =\ \frac{4\,k}{n}+\frac{4\,k^2}{n^2} + 1[/mm]
>
>
> Für den Limes der Obersummengilt daher:
>
> [mm]\ \limes_{n\to\infty}OS_n\ =\ \limes_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot{}\left(\frac{4\,k}{n}+\frac{4\,k^2}{n^2}+1\right)[/mm]
>
> und weiter
>
> [mm]\ =\ \limes_{n\to\infty}\left(\frac{8}{n^2}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k+\frac{8}{n^3}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k^2 + \bruch{2}{n}\right)[/mm]
Das ist nicht richtig. Sondern:
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(\frac{8}{n^2}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k+\frac{8}{n^3}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k^2 + \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{n}\right)
[/mm]
Es ist [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{n}= [/mm] 2
FRED
>
>
> und hier ist mein Problem, der hintere Part viele ja weg,
> und dadurch
> komme ich ja auf ein falsches Ergebnis,
> wenn ich die Summenformeln einsetze.
>
> Denn das würde ergeben mit dem
> lim n-> [mm]\infty[/mm] = 4 + [mm]\bruch{8}{3}[/mm] + 0
>
> und da steckt in der letzten zeile vor dem Limes irgendwo
> ein fehler, wo ich nicht weiss wie ich ihn beheben muss.
>
> danke fuers drüberschauen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
ah, danke
hab mir schon gedacht dass da der fehler liegt.
aber kannst du mir noch kurz sagen, warum das jetzt 2 ist. es ist doch [mm] \bruch{2}{n} [/mm] mit n-> [mm] \infty [/mm] = 0
oder wie verändert das die summe die da aussenrum steht?
(bin einfach irritiert, weil der laufende index der summe ja gar nicht in der funktion vorkommt,und daher wusste ich nicht, was ich damit tun sollte)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> ah, danke
>
> hab mir schon gedacht dass da der fehler liegt.
>
> aber kannst du mir noch kurz sagen, warum das jetzt 2 ist.
> es ist doch [mm]\bruch{2}{n}[/mm] mit n-> [mm]\infty[/mm] = 0
>
> oder wie verändert das die summe die da aussenrum steht?
> (bin einfach irritiert, weil der laufende index der summe
> ja gar nicht in der funktion vorkommt,
Eben ! In $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{n}$ [/mm] summierst Du n mal den (von k unabh. ) Summanden $2/n$ auf
So ist z.B. $ [mm] \summe_{k=1}^{n}3= [/mm] 3n$
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}7= [/mm] 7n$
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}2/n= [/mm] n* [mm] \bruch{2}{n}= [/mm] 2$
FRED
> und daher wusste ich
> nicht, was ich damit tun sollte)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
ah nun machts klick,
genau cih summiere n mal den von k unabhaengigen summanden auf:)
prima, ist abgespeichert.
danke!
|
|
|
|
