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| Aufgabe 1 | Ermitteln Sie je eine Stammfunktion von f!
a) f(x) = [mm] 2/(x^2) [/mm] +3* [mm] \wurzel{x}
[/mm]
b) f(x) = [mm] 1/((2*x-1)^2) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Zeichnen Sie das Rechteckt ABCD mit A(0;0), B(2;0), C(2;4) und D(0;4). In welchem Verhältnis teilt die Parabel f(x) = [mm] -x^2+4 [/mm] die Fläche des Rechtecks? |
| Aufgabe 3 | Gegeben sind die Funktionenscharen f(x) = [mm] ax-x^3 [/mm] und g(x) = -ax.
a) Die Graphen f und g schließen zwei Flächenstücke vollständig ein. Ermitteln sie deren Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a beträgt dieser Flächeninhalt 128FE?
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| Aufgabe 4 | Gegeben ist die Funktionenschar f durch f(x) = [mm] (x^2-2*a*x+9)/(x-2*a)
[/mm]
Untersuchen sie as Verhalten im Unendlichen und geben sie die Gleichungen aller Asymptoten von f an. |
Hallo erstmal,
bitte seit nicht erschrocken, wenn ihr hier 4 Aufgaben seht. Es sind meistens sehr kurze Aufgaben, wobei ich bei den meisten Lösungen raushabe. Ich würde mich wirklich freuen, wenn ihr die Lösungen evtl. mal nachkontrollieren könntet bzw. mir bei einigen Fragen weiterhelft.
Liebe grüße und vielen dank
searchgirl
zu Aufgabe 1:
a) F(x) = -2/x + 2*x* [mm] \wurzel{x}
[/mm]
b) F(x) = [mm] ln|4*x^2-4*x+1|
[/mm]
zu Aufgabe 2:
zunächst die Fläche des gesamten Rechtecks:
a = 2
b = 4
A = a*b
A = 8 FE
Nun die Fläche die Die Parabel mit den Koordinatenachsen einschließt, wobei die Grenzen (aufgrund der Nullstellen 0 und 2 sind)
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{(-x^2+4) dx} [/mm] = 5,333 FE
Die zweite Hälfte der Rechtecksfläche kann man durch folgende Gleichung rausbekommen:
A - [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A_{2}
[/mm]
[mm] A_{2} [/mm] = 2,6666
Verhältnis von [mm] A_{2} [/mm] zu [mm] A_{1}: [/mm] 2 :1
Die Parabel teilt also die Fläche des Rechtecks in einem Verhältnis zu 2:1.
zu der 3. Aufgaben:
A = [mm] \integral_{ \wurzel{a}}^{0}{(-2*ax+x^3) dx} [/mm] = [mm] 0,75*a^2 [/mm] FE
dann kann man noch den zweiten Teil der Fläche berechnen, da dies aber symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, besitzt es den selben Inhalt der ersten Fläche (ich habe es auch berechnet, kommt auch das gleiche heraus).
Gesamtfläche demnach : A = 1,5 FE
Kommen wir nun zu Aufgabe 4:
Hier fangen wirklich meine mathematischen Probleme an, wenn ich das Verhalten im Unendlichen untersuchen will, untersuche ich doch die Grenzwerte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x^2-2*a*x+9)/(x-2*a) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x^2*(1-(2*a)/x [/mm] + [mm] 9/(x^2))/(x^2*(1/x-(2*a)/(x^2))
[/mm]
So nun habe ich das höchste x ausgeklammert, aber ich komme jetzt irgendwie nicht weiter. Ich meine dadruch tauchen viele Nullfolgen auf, heißt dass nun dass die Funktion gegen Null läuft. Wenn man sich die Funktionen einmal zeichnet so ist dies nicht der Fall.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Sir_E |
Tach searchgirl
Also erst mal zu deinen Stammfunktionen
F ist nur teilweise richtig, der Teil mit der Wurzel stimmt nicht so ganz.
Es geht ja so:
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] Jetzt wendest du einfach die Integrationsregel an die du ja für funktionen der form [mm] x^{n} [/mm] gelernt hast:
Dann gilt ja:
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}+1}* (x^{\bruch{1}{2}+1}) [/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*(\wurzel{x^{3}})
[/mm]
G stimmt leider auch nicht hier hast du die innere ableitung quasi unterschlagen. Bei dieser Funktion musst du Integration durch substituieren anwenden. Das geht dann so
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{(2*x-1)^{2} dx}} [/mm] steht ja da eigentlich.
Dann ersetzt du 2*x-1 mit z . Jetzt muss du aber noch den Integrator( so heißt der glaub ich) dx ersetzen.
das geht dann so
[mm] \bruch{dz}{dx}=2 [/mm] wobei [mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm] der Ableitung deiner Funktion z ist. (dz nach dx ist die Leibniz schreibweise für das Ableiten)
Jetzt "stellst du nach dx um" und schreibst das Integral neu hin:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{2}*\bruch{1}{(z)^{2} dz}}
[/mm]
Das leitest du dann einfach mit der Potenzregel auf und ersetzt nachher einfach z mit 2*x-1 und herauskommt:
[mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2*x-1}
[/mm]
das müsste stimmen
Ach ja und dann mustt du noch zu allen stammfunktionen noch eine Konstant + c hinzufügen.
Nr.2 stimmt völlig
Bei der dritten aufgabe musst du eigentlich die schnittpunkte der beiden Funktionen ausrechen und dann deren Differenz integrieren (und noch beachten welche Funktion überhalb der anderen verläuft bzw. einfach das Ergebnis zum betrag nehmen)
zur 4.Aufgabe
Das geht alles so in ordnung was du da gemacht hast jetzt muss su nur noch x gegen unendlich laufen lassen nachdem du das [mm] x^2 [/mm] weggekürzt hast.
Du hast im Zähler zwei Nullfolgen somit ergibt sich da nur noch der Wert 1, der Rest fällt unter den tisch.
Im nenner hast du nur Nullfolgen so dass insgesamt ein Term der form " [mm] \bruch{1}{0}" [/mm] ergibt der ja nicht konvergiert also für x gegen unendlich strebt auch die Funktion gegen unendlich.
Tipp: Das ausklammern von [mm] x^{2} [/mm] kannst du dir auch sparen, denn wenn der term mit dem größten exponenten bei solchen rationalen Funktionen im Zähler steht und im Nenner nur Terme mit kleineren exponenten stehne heißt das automatisch, dass die Funktion divergiert( gegen unendlich geht für x gegen unendlich)
Umgekehrt falls der Term mit dem höchsten Exponenten im Nenner steht konvergiert die Funktion gegen 0 für x gegen unendlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mi 31.05.2006 | | Autor: | searchgirl |
Hey [mm] Sir_E,
[/mm]
vielen Dank für deine Antwort, die mir sehr weiter geholfen hat.
Liebe grüße
Searchgirl
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