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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 So 10.04.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo Max! ( Brackhaus ? )
Ich habe da eine Frage.
Bei der numerischen Integration durch wiederholtes Differenzieren wird die Taylorformel eingesetzt
Die numerische Integration dient ja dazu ein Integral durch näherungsweise Berechnungen zu bestimmen, weil die Stammfunktion nicht bestimmt werden kann.
Bei der Methode, die ich anwenden muss, wird die gesuchte Stammfunktion durch Summieren so umgeformt, so dass die unbekannte Funktion F ( a ) wegfällt, und die Ableitungen, die mit der Taylorformel berechnet werden, bilden dann das Integral.
Wie kann ich mir das anschaulich vorstellen?
Hast du einen Tipp für mich? Danke!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Irina,
nun ja, ganz so anschaulich denke ich kann man sich das nicht mehr vorstellen. Aber deine Zusammenfassung vom Vorgehen ist so richtig. Ich hatte dir ja schonmal einen Link geschickt, wo gezeigt wurde, wie die einzelnen Ableitungen genutzt werden, um die Funktion immer besser zu beschreiben - und genau das macht man hier auch, nur halt für die Stammfunktion. Dabei fällt halt wegen $-F(a)$ der erste Summand weg, d.h. man stellt sicher, dass das Taylorpolynom durch den Urpsrung verläuft.
Max
Links mit Bildchen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
PS: Du kannst auch neue Frage in den alten Thread reinschreiben - dann bleibt das evtl übersichtlicher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 10.04.2005 | | Autor: | ginii |
Ja, das ist mir auch klar.
Ich habe zu diesem Thema keine Informationen gefunden, deshalb bin ich mir nicht sicher, wie weit ich es ausarbeiten muss. Ich weiß zwar, dass ich mit der Stammfunktion durch Einsetzen in die Taylorformel das Integral bestimmen kann, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich mit dieser Formel nun ein Beispiel berechnen kann.
PS: Das mit der Veranschaulichung:
Das ist ja genauso wie bei der Bestimmung eines Punktes durch Approximation n-facher Polynomfunktionen. Hier nähert man sich eben einem bestimmten Punkt.
Beim Bestimmen des Integrals ist es aber so, dass man das Intervall in Teilintervalle aufteilt. Das muss ja bei dieser Methode genauso sein. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
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> Ja, das ist mir auch klar.
> Ich habe zu diesem Thema keine Informationen gefunden,
> deshalb bin ich mir nicht sicher, wie weit ich es
> ausarbeiten muss. Ich weiß zwar, dass ich mit der
> Stammfunktion durch Einsetzen in die Taylorformel das
> Integral bestimmen kann, aber ich bin mir nicht sicher, ob
> ich mit dieser Formel nun ein Beispiel berechnen kann.
Teste doch einfach mal, du kannst ja mal versuchen bei einer Funktion, die du mit Hand bestimmen kannst dieses auch durch deine Näherungsformel zu machen um zu sehen ob es klappt, zB
[mm] $\int_0^b \cos(x)dx$, [/mm] wenn du alles richtig machst müsste ja als Taylorentwicklung für die Stammfunktion die Taylorentwicklung für [mm] $\sin(b)-\sin(0)$ [/mm] raus kommen (ich habe mal $a=0$ gewählt).
> PS: Das mit der Veranschaulichung:
> Das ist ja genauso wie bei der Bestimmung eines Punktes
> durch Approximation n-facher Polynomfunktionen. Hier nähert
> man sich eben einem bestimmten Punkt.
> Beim Bestimmen des Integrals ist es aber so, dass man das
> Intervall in Teilintervalle aufteilt. Das muss ja bei
> dieser Methode genauso sein. Richtig?
Finde ich nicht. Ich würde das so formulieren. Man nähert die Stammfunktion durch ein Polynom an. Und die Bestimmung eines Polynoms erfolgt normalerwiese dadurch, dass man $n+1$-Gleichungen der Gestalt [mm] $f(x_i)=y_i$ [/mm] vorgegeben hat. Statt die Funktion in $n+1$ Punkten zu kennen reicht es aber auch die ersten $n+1$ Ableitungen der Funktion an einer Stelle zu kennen (Taylorformel).
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 10.04.2005 | | Autor: | ginii |
Also:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) [mm] dx}cos(x)=sin(b)-sin(a=0)=cos(0)b-sin(0)b^2/2!-cos(0)b^3/3!+sin(0)b^4/4!
[/mm]
[mm] 1*b-0*b^2/2!-1*b^3/3!+0*b^4/4!= [/mm] rot zu druckender Text [mm] 1b-1b^3/3!
[/mm]
Wenn nun die obere Grenze habe, dann setze ich sie in b ein und erhalte dann das Integral. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Wegen [mm] $F^{(1)}(x)=f(x)=\cos(x)$ [/mm] gilt [mm] $F^{(2)}(x)=-\sin(x); F^{(3)}(x)=-\cos(x); F^{(4)}(x)=\sin(x); F^{(5)}=\cos(x); \ldots$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_0^b \cos(x) [/mm] dx = F(b)-F(0) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{F^{(k)}(0)}{k!} b^k \approx \left(\cos(0)\right)b [/mm] + [mm] \left(-\sin(0)\right)\frac{b}{2!}+ \left(-\cos(0)\right)\frac{b^3}{3!}+\left(\sin(0)\right)\frac{b^4}{4!}+\left(\cos(0)\right)\frac{b^5}{5!}+\cdots \approx [/mm] b [mm] -\frac{1}{3!}b^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{5!}b^5 \pm \cdots \approx \sin(b) [/mm] $
Und nach dem Hauptsatz wissen wir ja, dass [mm] $\int_0^b\cos(x)dx [/mm] = [mm] \sin(b)-\sin(0)=\sin(b)-0=\sin(b)$. [/mm] Also klappt das Näherungsverfahren!
Max
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