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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Kathinka |
| Aufgabe | | begründen sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{9n^4+3} [/mm] -3n²) = 0 |
ich habe den term mit [mm] \wurzel{9n^4+3} [/mm] +3n² erweitert, so dass ich im zähler eine binomische formel habe deren ergebnis 3 ist.
dann habe ich den bruch 3 / [mm] (\wurzel{9n^4} [/mm] +3n²
ich muss jetzt mit hilfe einer weiteren folge begründen, dass der limes hier (für n gegen unendlich) 0 ist.
die lösung besagt, dass ich angeben kann, mein ausdruck ist [mm] \le [/mm] 1/n²
da 1/n² gegen 0 konvergiert, und mein ausdruck kleiner ist, muss mein ausdruck somit auch gegen null gehen. soweit herrscht klarheit in meinem kopf.
meine frage ist nun: wie komme ich auf den vergleich mit 1/n² ?
lg katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Fr 25.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Katja!
> begründen sie: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{9n^4+3}[/mm]
> -3n²) = 0
> ich habe den term mit [mm]\wurzel{9n^{4}+3}[/mm] +3n² erweitert, so
> dass ich im zähler eine binomische formel habe deren
> ergebnis 3 ist.
>
> dann habe ich den bruch 3 / [mm](\wurzel{9n^{4}+3}[/mm] +3n²
Klasse!
> ich muss jetzt mit hilfe einer weiteren folge begründen,
> dass der limes hier (für n gegen unendlich) 0 ist.
> die lösung besagt, dass ich angeben kann, mein ausdruck
> ist [mm]\le[/mm] 1/n²
> da 1/n² gegen 0 konvergiert, und mein ausdruck kleiner
> ist, muss mein ausdruck somit auch gegen null gehen. soweit
> herrscht klarheit in meinem kopf.
Dazu gehört noch die Feststellung
0 [mm] \le \bruch {3}{\wurzel{9n^{4} + 3} +3n²} \le [/mm] 1/n²
> meine frage ist nun: wie komme ich auf den vergleich mit
> 1/n² ?
Nun ist [mm] 9n^{4} [/mm] + 3 [mm] \ge 9n^{4}
[/mm]
daher [mm] \wurzel{9n^{4} + 3} \ge \wurzel{9n^{4}} [/mm] = 3n²
daher [mm] \wurzel{9n^{4} + 3} [/mm] + 3n² [mm] \ge [/mm] 6n²
daher [mm] \bruch{3}{\wurzel{9n^{4} + 3} + 3n²} \le [/mm] 1/2n² [mm] \le [/mm] 1/n²
Das geht auch alles mit 'echt größer' und 'echt kleiner'.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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