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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Do 15.03.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle dreistelligen positiven ganzen Zahlen mit der Quersumme 12, bei denen die erste Ziffer doppelt so groß ist wie die letzte. |
tachen!
so hab noch ma nen porblem. Also hab die Aufgabe zwar ausgerechnet,a ber keine ganzen Zahlen erhalten, weil ich denke es fhelt eine weitere Bedingung um diese AUfgabe zu lösen
q(n)=a+b+c=12
a=c*2 richtig so?
als gleichungen habe ich also:
I. a+b+c= 12
II. 2c=a
III. 12-a-c=b
II. umgeformt erhalte ich [mm] c=\bruch{a}{2}
[/mm]
das in III. eingesetzt ergibt [mm] 12-a-\bruch{a}{2}=b
[/mm]
[mm] -a=b-12+\bruch{a}{2}
[/mm]
[mm] a=-b+12-\bruch{a}{2}
[/mm]
das ganze wieder in III. einsetzten: [mm] b=12-(-b+12-\bruch{a}{2})-\bruch{a}{2}
[/mm]
= b
sooo, ja ich weiß, dass das was ich gemacht habe falsch ist, aber ich weiß nciht wie ich es anders machen könnte, wäre gaaanz lieb wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
Gruß Karlchen
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Hallo nochmals! 
> Bestimmen sie alle dreistelligen positiven ganzen Zahlen
> mit der Quersumme 12, bei denen die erste Ziffer doppelt so
> groß ist wie die letzte.
> tachen!
>
> so hab noch ma nen porblem. Also hab die Aufgabe zwar
> ausgerechnet,a ber keine ganzen Zahlen erhalten, weil ich
> denke es fhelt eine weitere Bedingung um diese AUfgabe zu
> lösen
>
> q(n)=a+b+c=12
> a=c*2 richtig so?
>
> als gleichungen habe ich also:
> I. a+b+c= 12
> II. 2c=a
> III. 12-a-c=b
>
> II. umgeformt erhalte ich [mm]c=\bruch{a}{2}[/mm]
>
> das in III. eingesetzt ergibt [mm]12-a-\bruch{a}{2}=b[/mm]
> [mm]-a=b-12+\bruch{a}{2}[/mm]
>
> [mm]a=-b+12-\bruch{a}{2}[/mm]
>
> das ganze wieder in III. einsetzten:
> [mm]b=12-(-b+12-\bruch{a}{2})-\bruch{a}{2}[/mm]
> = b
>
> sooo, ja ich weiß, dass das was ich gemacht habe falsch
> ist, aber ich weiß nciht wie ich es anders machen könnte,
> wäre gaaanz lieb wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
Du hast im Grunde nichts falsch gemacht, du hast nachgewiesen, dass b=b ist.
> Gruß Karlchen
Gleichung I und II deines Gleichungssystems sind in Ordnung. Gleichung III ist dadurch entstanden, daß du I umgeformt hast. Dieser Schritt ist nicht optimal, da die mathematische Aussage in III die selbe ist wie vorher in I. Grundsätzlich kannst du dir merken, dass die Gleichungen deines Gleichungssystems durch die Angaben in deiner Aufgabenstellung entsehen müssen.
Generell gilt, daß ein Gleichungssystem dann eindeutig lösbar ist, wenn du für jede deiner Variablen eine Gleichung aufstellen kannst. Ein solches Gleichungssystem ist dann bestimmt (z.B. Variablen x,y,z und 3 Gleichungen). Ein Gleichungssystem ist dann unterbestimmt, wenn es mehr Variablen als Gleichungen gibt (z.B. Variablen x,y,z aber nur 2 Gleichungen). Ein Gleichungssystem ist überbestimmt, wenn mehr Gleichungen existieren als Variablen vorhanden sind (z.B. Variablen x,y,z und 4 Gleichungen).
In deinem Fall existieren 3 Variablen (a,b,c), es gibt aber nur 2 Gleichungen, die sich dabei aufstellen lassen (--> unterbestimmtes Gleichungssystem!). In solchen Fällen existiert keine eindeutige Lösung, sondern bestenfalls eine Reihe von Lösungen (das lässt bei deiner Aufgabe auch die Aufgabenstellung vermuten, denn du sollst alle dreistelligen Zahlen angeben, auf welche die Beschränkungen zutreffen).
Nun zur Lösung
Gegeben sind: a,b,c [mm] \in \IN
[/mm]
I. a+b+c= 12
II. 2c=a
Du kannst nun II in I einsetzen und erhälst:
2c+b+c=12
Zusammengefasst und nach b umgestellt erhält man:
b=12-3c
In diese Gleichung kannst du nun für c alles Zahlen von 0 bis 9 einsetzen und das entsprechende b ermitteln:
c=0 --> [mm] \red{b=12}
[/mm]
c=1 --> b=9
c=2 --> b=6
c=3 --> b=3
c=4 --> b=0
c=5 --> [mm] \red{b=-3}
[/mm]
An dieser Stelle kann man aufhören, da für weiter ansteigende c das b immer negativ wird. Laut Aufgabe sollen aber die Zahlen ganzzahlig und positiv sein. Die (Teil-)Lösung c=0 und b=12 entfällt ebenfalls, da eine Ziffer der Zahl immer nur einstellig sein darf. Von Interesse sind demnach nur die Lösungen für c=1 bis c=4.
Nun gilt es noch, a zu bestimmen. Dazu setzt du die eben ermittelten Werte für c in die Gleichung zur Bestimmung von a (Gleichung II: a=2c) ein. Es ergibt sich:
c=1 --> b=9 --> a=2
c=2 --> b=6 --> a=4
c=3 --> b=3 --> a=6
c=4 --> b=0 --> a=8
Somit gibt es 4 Zahlen, welche die in der Aufgabenstellung genannten Bedingungen erfüllen:
[mm] Zahl_{1}=291
[/mm]
[mm] Zahl_{2}=462
[/mm]
[mm] Zahl_{3}=633
[/mm]
[mm] Zahl_{4}=804
[/mm]
Das wars schon.
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Do 15.03.2007 | | Autor: | Karlchen |
WOW! danke für diese ausfürliche erklörung, echt!
is jez im nachhinein zwar ganz einfach, aber alleine wäre ich nciht drauf gekommen. dankeeee^^
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