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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Alice |
Liebe Leute,
schon wieder nerve ich mit so einer Aufgabe rum, ich glaube, mein Problem liegt daran, dass ich die Sache mit der e-Funktion und deren Umkehrfunktion, der ln-Funktion noch nicht richtig begriffen habe.
Hier also die Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(e^{x}-e^{-x})}{x}
[/mm]
Musterlösung sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
[/mm]
diesen Schritt kann ich schon nicht nachvollziehen...
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
[/mm]
versteh ich auch nicht, aber kommt wahrscheinlich vom vielen *in die Bücher gucken*... ist bestimmt nur irgendeine umformung, die ich nicht gebacken krieg...
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2e^{2x}}{2e^{2x}}
[/mm]
das ist dann die l'Hospitalregel, Zähler und Nenner einzeln abgeleitet
=1
das sollte dann selbst für mich klar sein...
Ich verzweifle langsam an dem Zeug, sehe irgendwie garnicht, woran ich mich orientieren soll, oder wie ich anfangen kann...
Ich würde mich sehr über Eure Hilfe freuen, vor allem zu meinem offensichtlich grundlegenden Problem zur e- und ln-funktion.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 18.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Alice
> Hier also die Aufgabe:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(e^{x}-e^{-x})}{x}
[/mm]
>
> Musterlösung sieht dann folgendermaßen aus:
>
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
[/mm]
> diesen Schritt kann ich schon nicht nachvollziehen...
das ist die regel von de l'hôspital (nenner und zähler einzeln abgeleitet - nenner wird aber = 1, verschwindet also). rechne das einfach mal nach!
(ich habe da aber jetzt auch mal kurz gestutzt - schreiben die in der musterlösung denn nicht, was sie machen?)
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
[/mm]
> versteh ich auch nicht, aber kommt wahrscheinlich vom
> vielen *in die Bücher gucken*... ist bestimmt nur
> irgendeine umformung, die ich nicht gebacken krieg...
den bruch einfach mit [m] e^x [/m] erweitern ([m] e^x*e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1[/m])!
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2e^{2x}}{2e^{2x}}
[/mm]
> das ist dann die l'Hospitalregel, Zähler und Nenner
> einzeln abgeleitet
>
> =1
> das sollte dann selbst für mich klar sein...
>
> Ich verzweifle langsam an dem Zeug, sehe irgendwie
> garnicht, woran ich mich orientieren soll, oder wie ich
> anfangen kann...
bei sowas muss man einfach mit dem kopf durch die wand und einfach ganz viele beispiele rechnen! da gibt es eigentlich nur ein paar aufgabentypen und wenn man die alle mal gerechnet hat, kommt man da eigentlich halbwegs gut mit zurecht.
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Andreas, danke für deine Antwort!
Hmm, offenbar bin ich jetzt noch nicht mal mehr in der Lage, die Ableitung zu bilden, vielleicht kannst du mir sagen, wo mein Fehler liegt:
[mm] \bruch{ln(e^{x}-e^{-x})}{x}
[/mm]
also erstmal kettenregel für den Zähler, d.h.
f(x)=ln(x)
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
g(x)= [mm] e^{x}+ e^{-x}
[/mm]
g'(x)= [mm] e^{x}- e^{-x}
[/mm]
und daraus ergibt sich dann also für den Zähler (nennen wir das mal u'):
[mm] u'=\bruch{e^{x}- e^{-x}}{ e^{x}+ e^{-x}}
[/mm]
und die anderen:
[mm] u=ln(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
v=x
v'=1
tja, da muss schon irgendwo der fehler sein, denn wenn ich darauf dann die quotientenregel anwende, wird aus dem nenner [mm] x^2 [/mm] und nicht null...
Bitte nochmals um Hilfe!
Danke!!!
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Hallo, Alice.
Ich weiß zwar nicht so genau, was deine Frage ist. Bei deiner Ableitung gibt es aber wohl - so weit ich das erkenne - einen Fehler. Ist vielleicht nur ein Tippfehler beim Eintragen in den Formeleditor.
Soweit ich das dem Thread entnehme, geht es darum, die Ableitung einer Funktion
f(x) = [mm] {ln(e^x-e^{-x}) \br x} [/mm] zu bilden.
Die Ableitung wird, wie richtig erkannt, mit der Quotienten- und Kettenregel gebildet.
Im Folgenden sei:
[mm] f(x)=\bruch{Z(x)}{N(x)}
[/mm]
Dann ist die Ableitung
[mm] f'(x)=\bruch{Z'(x)*N(x)-Z(x)*N'(x)}{(N(x))^2}
[/mm]
Man wählt:
[mm] Z(x)=ln(e^x-e^{-x})
[/mm]
Die Ableitung bestimmt man mit der Kettenregel (innere Abl. * äußere Abl.):
Innere Ableitung: [mm] (e^x-e^{-x})'=e^x+e^{-x}
[/mm]
Äußere Ableitung: [mm] \bruch{1}{e^x-e^{-x}}
[/mm]
Also ist:
[mm] Z'(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
[/mm]
Mit N(x)=x ist der Rest eine einfache Anwendung der Quotientenregel:
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\cdot{}x - ln(e^x-e^{-x})}{x^2}
[/mm]
Man bildet im Zähler den Hauptnenner:
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{x(e^x+e^{-x}) - (e^x-e^{-x})*ln(e^x-e^{-x}}{e^x-e^{-x}}}{x^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{x(e^x+e^{-x}) - (e^x-e^{-x})*ln(e^x-e^{-x})}{x^2(e^x-e^{-x})}
[/mm]
So, das wäre die Ableitung. Hoffe man kann durchsteigen und es ist hilfreich.
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Alice |
oh mann, ich weiss auch nicht, wo ich meinen kopf habe...
tut mir leid, dass ich gefragt habe, offensichtlich ohne richtig nachzudenken...
*sorrysorrysorry*
ich leite ja nicht die ganze funktion ab, sondern zähler und nenner getrennt, und dann ist das ergebnis natürlich klar *schäääääm*
danke an alle, die sich trotz meiner doofheit mit der sache beschäftigt haben
Eure zerknirschte Alice
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 18.08.2004 | | Autor: | andreas |
*ist ja dann jetzt gegenstandslos*
hi Alice
du hast doch die lösung schon dastehen!
bei der regel von de l'hôspital darfst du nicht den bruch mit der quotientenregel ableiten, sondern musst nenner und zähler getrennt ableiten.
wenn du also [m] \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{u(x)}{v(x)} } [/m] berechnen willst und es liegt ein fall vor, in dem du de l'hôspital anwenden darft, so gilt [m] \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{u'(x)}{v'(x)} } [/m] insofern der letzte grenzwert existiert.
nun schau mal nach, was bei dir [m] \displaystyle{ \dfrac{u'(x)}{v'(x)} } [/m] ist...
...andreas
jetzt muss ich aber zum fussball. danach vielleicht mehr, wenn du noch fragen hast!
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