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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - nichtlineare Diff-Gleichung
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nichtlineare Diff-Gleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Mo 16.09.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Eine an ihren Enden aufgehängte Kette erfüllt im Gleichgewicht die Differentialgleichung

y''(x) = [mm] a\wurzel{1 + y'(x)^2}. [/mm]

Finden Sie die Lösung mit Scheitel im Nullpunkt: y(0) = 0, y'(0) = 0. (Tipp: Setze z(x) = y'(x).


Hallo,

Komme leider wieder nicht weiter. Ich führe die Ersetzung durch:

z'(x) = [mm] a\wurzel{1 + z(x)^2}. [/mm]

[mm] \integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx } [/mm] = ax + C

Aber wie berechne ich das Integral auf der linken Seite? Substitution geht m.E. nicht, da der Term nicht von der Form f(g(x))g'(x) ist.
Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke,

Martin

        
Bezug
nichtlineare Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Mo 16.09.2019
Autor: fred97


> Eine an ihren Enden aufgehängte Kette erfüllt im
> Gleichgewicht die Differentialgleichung
>  
> y''(x) = [mm]a\wurzel{1 + y'(x)^2}.[/mm]
>  
> Finden Sie die Lösung mit Scheitel im Nullpunkt: y(0) = 0,
> y'(0) = 0. (Tipp: Setze z(x) = y'(x).
>  
> Hallo,
>  
> Komme leider wieder nicht weiter. Ich führe die Ersetzung
> durch:
>  
> z'(x) = [mm]a\wurzel{1 + z(x)^2}.[/mm]
>  
> [mm]\integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx }[/mm] = ax + C


Wenn Du hier so etwas wie "Trennung der Variablen " versucht hast, so stimmts nicht ganz.  Mit Trennung der Variablen bekommen wir

[mm]\integral{\bruch{dz}{\wurzel{1 + z^2}} }[/mm] = ax + C

Für das Integral links bietet sich die Substitution $z= [mm] \sinh(t)$ [/mm] an, denn es gilt

  $ [mm] \cosh^2 [/mm] (t) - [mm] \sinh^2 [/mm] (t)=1.$.

>  
> Aber wie berechne ich das Integral auf der linken Seite?
> Substitution geht m.E. nicht, da der Term nicht von der
> Form f(g(x))g'(x) ist.
>  Kann mir jemand weiterhelfen?
>  
> Danke,
>  
> Martin


Bezug
                
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nichtlineare Diff-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mo 16.09.2019
Autor: sancho1980


> Wenn Du hier so etwas wie "Trennung der Variablen "
> versucht hast, so stimmts nicht ganz.  Mit Trennung der
> Variablen bekommen wir
>  
> [mm]\integral{\bruch{dz}{\wurzel{1 + z^2}} }[/mm] = ax + C

Wie das denn? Ich gehe aus von

y''(x) = a [mm] \wurzel{1 + y'(x)^2} [/mm]

Jetzt setze ich z(x) = y'(x):

z'(x) = a [mm] \wurzel{1 + z(x)^2} [/mm]

Also:

[mm] \bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} [/mm] = a

Also:

[mm] \integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx} [/mm] = [mm] \integral{a dx} [/mm] = ax + C

Oder was stimmt nicht?

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nichtlineare Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Mo 16.09.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > [mm]\integral{\bruch{dz}{\wurzel{1 + z^2}} }[/mm] = ax + C
>  
> Wie das denn?

Ihr habt beide recht, allerdings ist bei freds Antwort z keine Funktion mehr von x sondern die Integrationsvariable, wie du gleich sehen wirst.

> [mm]\integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{a dx}[/mm] = ax + C
>  
> Oder was stimmt nicht?

Bis hier hin alles ok.
Substituiere nun links $y = z(x)$ und du erhältst die selbe Lösung wie von fred angegeben.

Nutze dann den von fred gegebenen Hinweis zur Lösung.

Gruß,
Gono



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nichtlineare Diff-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:37 Sa 21.09.2019
Autor: sancho1980

Leider komme ich erst jetzt dazu, nochmal zu schreiben. Ich bin leider immer noch nicht weiter gekommen. Nach der Substituierung steht nämlich da:

[mm] \integral{\bruch{1}{cosh(t)} dt} [/mm] =ax + C

Ich hab mir hier wirklich Gedanken gemacht, weiß aber leider nicht, was mir das bringen soll. Jetzt ist ja der gesuchte Term vollkommen aus der Gleichung verschwunden. Könnt ihr mal bitte zeigen, wie der komplette Lösungsweg aussieht. Ich stehe leider auf dem Schlauch ...

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nichtlineare Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 So 22.09.2019
Autor: Martinius

Hallo sancho1980,

[mm] $y''(x)\;=\;a*\sqrt{1+(y'(x))^2}$ [/mm]

[mm] $z'(x)\;=\;a*\sqrt{1+z^2}$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\;dz\;=\;a*\int [/mm] dx$

Mit Formelsammlung:  [mm] $arsinh(z)\;=\;a*x+C$ [/mm]

[mm] $z\;=\;sinh(a*x+C)$ [/mm]

[mm] $y'\;=\;sinh(a*x+C)$ [/mm]

[mm] $\int dy\;=\;\int sinh(a*x+C)\;dx$ [/mm]

[mm] $y(x)\;=\;\frac{1}{a}*cosh(a*x+C)+D$ [/mm]

Hoffentlich ohne Fehler.

LG, Martinius


P.S.:  Zum Integral [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\;dz$ [/mm]

Wie fred & Gonozal schon geschrieben hatten benötigen wir die Substitution $z=sinh(u)$.

Das Differential dz muss auch substituiert werden:

[mm] $\frac{dz}{du}\;=\;cosh(u)$ [/mm]  also:  [mm] $dz\;=\;cosh(u)*du$ [/mm]

Aus:  [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\;dz$ [/mm]

wird:  [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+(sinh(u))^2}}*cosh(u)\;du$ [/mm]

[mm] $\int \frac{cosh(u)}{\sqrt{(cosh(u))^2}}du\;=\;\int [/mm] 1 [mm] \;du\;=\;u+C$ [/mm]

Das u erhalten wir aus der Substitutionsgleichung  $z=sinh(u)$ :

[mm] $u\;=\;arsinh(z)$ [/mm]

Damit:  [mm] $\int [/mm] 1 [mm] \;du\;=\;u+C\;=\;arsinh(z)+C$ [/mm]


Hoffentlich ohne Fehler.





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nichtlineare Diff-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 So 22.09.2019
Autor: sancho1980

Hallo

Erstmal danke für den ausführlichen Lösungsweg.
Du kommst damit aber auf eine Lösung, die leicht von der offiziellen abweicht, insofern würde mich der Grund für die Diskrepanz noch interessieren.

Die offizielle Lösung lautet

y(x) = [mm] \bruch{1}{a}(cosh(ax) [/mm] - 1)

Viele Grüße

Martin

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nichtlineare Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 So 22.09.2019
Autor: Martinius

Hallo sancho1980,

> Hallo
>  
> Erstmal danke für den ausführlichen Lösungsweg.
>  Du kommst damit aber auf eine Lösung, die leicht von der
> offiziellen abweicht, insofern würde mich der Grund für
> die Diskrepanz noch interessieren.
>  
> Die offizielle Lösung lautet
>  
> y(x) = [mm]\bruch{1}{a}(cosh(ax)[/mm] - 1)
>  
> Viele Grüße
>  
> Martin


Deine offizielle Lösung ist richtig.

Was ich Dir überlassen hatte: das Einsetzen der beiden Anfangs- bzw. Nebenbedingungen (?). Dann bekommst Du Zahlenwerte für C und D.

LG, Martinius

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nichtlineare Diff-Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:15 Mo 23.09.2019
Autor: sancho1980

Ok sorry ;-)
Ich war so konzentriert, den Lösungsweg zu verstehen, dass ich dieses Detail ganz vergessen hatte ...

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