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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - nichtlineare Dgl. 2. Ordnung
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nichtlineare Dgl. 2. Ordnung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Di 28.04.2015
Autor: riju

Aufgabe
Löse [mm] [mm] y''=y'^{2}\*sin(y) [/mm]

Also ich weiß wie ich lineaer Dgl. lösen kann, aber leider nicht wie ich nichtlineare Dgl lösen soll.

Gibt es da vllt einen Trick diese nichtlineare Dgl in eine lineare Dgl zu überführen?

Vielen Dank
riju

        
Bezug
nichtlineare Dgl. 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Di 28.04.2015
Autor: Martinius

Hallo riju,

> Löse [mm][mm]y''=y'^{2}\*sin(y)[/mm]

Also ich weiß wie ich lineaer Dgl. lösen kann, aber leider nicht wie ich nichtlineare Dgl lösen soll.

Gibt es da vllt einen Trick diese nichtlineare Dgl in eine lineare Dgl zu überführen?

Vielen Dank
riju


Man kommt mit Substitution etwas weiter - am Schluss habe ich dann aber ein Integral, welches ich nicht lösen kann.


[mm]y''\;=\;(y')^{2}*sin(y)[/mm]


[mm] $y'\;=\;\frac{dy}{dx}\;=\;u$ [/mm]

[mm] $y''\;=\;\frac{du}{dy}*\frac{dy}{dx}\;=\;\frac{du}{dy}*u\;=\;f(y,u)$ [/mm]

[mm] $u*\frac{du}{dy}\;=\;u^2*sin(y)$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{u}\;du$\;=\;\int sin(y)\;dy [/mm]

[mm] $ln|u|\;=\;-cos(y)+ln|C|$ [/mm]

[mm] $u\;=\;C*e^{-cos(y)}$ [/mm]

[mm] $\frac{dy}{dx}\;=\;C*e^{-cos(y)}$ [/mm]

[mm] $\int e^{cos(y)}\;dy\;=\;\int [/mm] C [mm] \;dx$ [/mm]

[mm] $\int e^{cos(y)}\;dy\;=\;C*x+D$ [/mm]


LG, Martinius

Bezug
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