nicht abelsche Untergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Die Gruppe [mm] Q_8:= [/mm] die von den Matrizen [mm] A=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} [/mm] $ und $ [mm] B=\pmat{0 & i \\ i & 0} [/mm] erzeugte Untergruppe von [mm] SL_2(\IC)
[/mm]
Beweisen Sie:
[mm] Q_8 [/mm] ist eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8. |
Hallo,
1) Ich dachte an das Untergruppenkriterium:
Seien X,Y [mm] \in Q_8 [/mm] so ist zuzeigen [mm] XY^{-1} \in Q_8
[/mm]
X= [mm] A^k B^m
[/mm]
Y= [mm] A^l B^n
[/mm]
k,m,l,n [mm] \in \IZ
[/mm]
wobei ich hier nicht weiterkomme
2) < A ,B > = [mm] A^m B^k [/mm] für m,k [mm] \in \IZ
[/mm]
ord(A)=4=ord(B)
-> k,m [mm] \in \{0,1,2,3\}
[/mm]
Es gibt also 16 verschiedene Produkte.
Wie komme ich nun auf 8??
Ich mag ja nun nicht alle 16 austesten, gibt es da keine schönere Variante?
3) Leider finde ich kein gegenbsp für die Kommutativität.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 26.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
das ist die Quaternionengruppe. Die ist für die Gruppentheorie immer wieder interessant, da sie eine Gruppe der Ordnung 8 ist, die nicht abelsch ist, aber jede Untergruppe von [mm] Q_8 [/mm] ist ein Normalteiler. Am besten ist es, um diese Gruppe kennen zu lernen, dir die Mühe zu machen, die Gruppentafel explizit aufzustellen! Dabei wirst du schnell feststellen, dass sie nicht abelsch ist und jede Untergruppe ein Normalteiler ist!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich möchte jedoch nicht die Gruppentafel aufstellen, sondern zeigen dass es eine Untergruppe ist bzw. Ordnung 8 hat. Von Normalteilern war in der Aufgabenstellung keine Rede.., also was bringen sie mir für die AUfgabenstellung?
Trotzdem danke für den Post
Da AB [mm] \not= [/mm] BA ist sie nicht abelsch.
> 1) Untergruppenkriterium:
> Seien X,Y $ [mm] \in Q_8 [/mm] $ so ist zuzeigen $ [mm] XY^{-1} \in Q_8 [/mm] $
> X= $ [mm] A^k B^m [/mm] $
> Y= $ [mm] A^l B^n [/mm] $
> k,m,l,n $ [mm] \in \IZ [/mm] $
> wobei ich hier nicht weiterkomme
> 2) < A ,B > = $ [mm] A^m B^k [/mm] $ für m,k $ [mm] \in \IZ [/mm] $( da BA= [mm] A^3 [/mm] B nicht auch andersrum)
> ord(A)=4=ord(B)
> -> k,m $ [mm] \in \{0,1,2,3\} [/mm] $
> Es gibt also 16 verschiedene Produkte.
> Wie komme ich nun auf 8??
> Ich mag ja nun nicht alle 16 austesten, gibt es da keine schönere Variante?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
dann überlege dir doch wenigstens, welches die 8 Elemente sind. Die Gruppentafel würde relativ schnell dastehn und dir alles liefern was du für die Aufgabenstellung brauchst!
Außerdem schadet es in der Regel nicht, sich auch mal über eine Aufgabestellung hinweg Gedanken zu machen. Ich wollte dich lediglich darauf hinweisen, dass diese Gruppe relativ wichtig ist, bzw. man sie auf jeden Fall kennen sollte. Zu zeigen, dass alle Untergruppen Normalteiler sind ist ebenfalls relativ schnell gemacht.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Meine Frage also nochmal:
[mm] Q_8 [/mm] ist eine Gruppe
-> kann ich hier mit dem Untergruppenkriterium diese Behauptung zeigen?
Denn siehe Post 1) ich bin daran gescheitert.
Was ich überlegt habe
Vermutung: [mm] Q_8 [/mm] := [mm] \{ I, A, A^2 , A^3 , B, B^3 , AB, BA \}
[/mm]
Offensichtlich liegen sie in der von A und B erzeugten Untergruppe
Jetzt muss aber noch gezeigt werden, dass die 8 matrizen auch alle sind und eine gruppe bilden.
[mm] A^2 [/mm] = [mm] B^2
[/mm]
also kommutiert [mm] A^2 [/mm] = [mm] B^2 [/mm] mit allen Elementen
[mm] A^4 [/mm] = I
[mm] B^4 [/mm] = I
A*M = M habe ich überprüft mit allen 8 elementen und die Multiplikation ergibt wieder alle 8 elemente aus M
ebenfalls habe ich überprüft
B*M =M (obwohl ich glaube man könnte auch mit Symmetrie bergünden, wenn es so geht bitte ich um erklärung!!)
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
> Meine Frage also nochmal:
>
> [mm]Q_8[/mm] ist eine Gruppe
> -> kann ich hier mit dem Untergruppenkriterium diese
> Behauptung zeigen?
> Denn siehe Post 1) ich bin daran gescheitert.
Weiß ich nicht. Geht aber ja auch einfacher. Außerdem ist deine Konstruktion im ersten Post schon falsch, das siehst du ja an den Elementen die du hier angegeben hast.
> Was ich überlegt habe
> Vermutung: [mm]Q_8[/mm] := [mm]\{ I, A, A^2 , A^3 , B, B^3 , AB, BA \}[/mm]
Du wirst das meistens in der Form finden: $C = A*B = [mm] \pmat{ 0 & -i \\ i & 0}$ [/mm] Dann gilt: [mm] $Q_8 [/mm] = [mm] \{\pm I, \pm A, \pm B, \pm C \}$ [/mm]
> Offensichtlich liegen sie in der von A und B erzeugten
> Untergruppe
> Jetzt muss aber noch gezeigt werden, dass die 8 matrizen
> auch alle sind und eine gruppe bilden.
Genau, ich plädiere immer noch für Gruppentafel, denn wie du unten festgestellt hast ist das alles symmetrisch, d.h. die Gruppentafel steht sehr schnell da und liefert dir das gewünschte ohne das du dich noch groß abtun musst.
> [mm]A^2[/mm] = [mm]B^2[/mm]
> also kommutiert [mm]A^2[/mm] = [mm]B^2[/mm] mit allen Elementen
> [mm]A^4[/mm] = I
> [mm]B^4[/mm] = I
Wozu brauchst du das?
> A*M = M habe ich überprüft mit allen 8 elementen und die
> Multiplikation ergibt wieder alle 8 elemente aus M
> ebenfalls habe ich überprüft
> B*M =M (obwohl ich glaube man könnte auch mit Symmetrie
> bergünden, wenn es so geht bitte ich um erklärung!!)
Symmetrie ja, ich denke durch obige Darstellung von [mm] Q_8 [/mm] wird die Symmetrie deutlich.
Und wie gesagt, stell doch einfach schnell die Gruppentafel auf...  Du wärst schon längst fertig!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Du mit deiner gruppentafel^^...
> Wozu brauchst du das?
z.B für die Gruppentafel sodass ich [mm] A^2 [/mm] * [mm] A^2 [/mm] = I schreiben kann..
Ich habe nun die besagte fast fertig Gruppentafel gemacht und das kostet schon arbeit, da man es ja auch noch umformen muss..
Symmetrie gilt doch nicht, weil es nicht abelsch ist...
Und sehe wenn ich die Elemente immer geeigne umforme
z.B. [mm] A*B^3 [/mm] = A [mm] B^2 [/mm] B = [mm] A^3 [/mm] B = BA
oder [mm] A^2 [/mm] B = [mm] B^2 [/mm] = [mm] A^2
[/mm]
oder ABA=B da [mm] AB^3 [/mm] = BA <=> [mm] ABA^2 [/mm] = BA <=> ABA = B
dass es immer elemente in M werden
oder muss ich das gar nicht zeigen...
Jetzt muss aber trotzdem noch gezeigt werden, dass die 8 matrizen
auch alle sind...
Was mir hier total fehlt ist ein Arbeitsplan, was ich zeigen muss..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, du hast recht es ist nicht direkt symmetrisch, aber "indirekt" . Also eigentlich muss man nur die Hälfte der Gruppentafel berechnen. Auf der "gegenüberliegenden" Position ist halt immer das negative...
Ich finde meine Notation übersichtlicher.. Was du zeigen musst ist doch nur, dass [mm] Q_8 [/mm] eine Gruppe ist. Sie ist eine multiplikative Gruppe. Also muss die Menge [mm] $Q_8 [/mm] = [mm] \{\pm I,\pm A, \pm B, \pm C\}$ [/mm] bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sein. Stellst du die Gruppentafel auf, so siehst du dass das der Fall ist und somit ist [mm] Q_8 [/mm] eine Gruppe mit 8 Elementen.
So: Seien I,A,B wie oben und $C [mm] =\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}$, [/mm] dann gilt:
[mm] \vmat{* & I & -I & A & -A & B & -B & C & -C \\ I & I & -I & A & -A & B & -B & C & -C \\ -I & -I & I & -A & A & -B & B & -C & C \\ A & A & -A & -I & I & C & -C & -B & B \\ -A & -A & A & I & -I & -C & C & B & -B \\ B & B & -B & -C & C &-I & I & A & -A \\ -B & -B & B & C & -C & I & -I & -A & A \\ C & C & -C & B & -B & -A & A & -I & I \\ -C & -C & C & -B & B & A & -A & I & -I }
[/mm]
So schwer isses also net, und irgendwie isses doch symmetrisch.. Das war alles was du machen musstest! Und jetzt kannst du dir ja noch überlegen warum jede Untergruppe Normalteiler ist
Gute Nacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
dankeschön für die tabelle ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu!
> 1) Ich dachte an das Untergruppenkriterium:
Dass [mm] $Q_8$ [/mm] eine Gruppe ist, ist klar und muss nicht weiter gezeigt werden: [mm] $Q_8$ [/mm] ist ja als von gewissen Elementen von [mm] $SL_2(\IC)$ [/mm] erzeugte Untergruppe insbesondere eine Untergruppe von [mm] $SL_2(\IC)$, [/mm] also insbesondere selbst wieder eine Gruppe.
> Seien X,Y [mm]\in Q_8[/mm] so ist zuzeigen [mm]XY^{-1} \in Q_8[/mm]
> X= [mm]A^k B^m[/mm]
>
> Y= [mm]A^l B^n[/mm]
> k,m,l,n [mm]\in \IZ[/mm]
A priori hat X nicht die Gestalt [mm] $A^kB^m$, [/mm] sondern
[mm] $X=D_1^{k_1}*D_2^{k_2}\ldots*D_n^{k_n}$
[/mm]
für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gewisse [mm] $D_i\in\{A,B\}$ [/mm] und [mm] $k_i\in\{1,-1\}$ ($i=1,\ldots,n$).
[/mm]
(Wäre [mm] $SL_2(\IC)$ [/mm] abelsch, wäre deine Darstellung von X korrekt.)
Wenn du nun von einer Darstellung wie [mm] $Q_8':=\{\pm I,\pm A, \pm B, \pm C\}$ [/mm] zeigen willst, dass [mm] $Q_8'=Q_8$ [/mm] gilt: [mm] $Q_8'\subseteq Q_8$ [/mm] ist klar. Das "Problem" ist [mm] $Q_8\subseteq Q_8'$. [/mm] Dazu ist zu zeigen: [mm] $Q_8'$ [/mm] ist bereits eine Untergruppe von [mm] $SL_2(\IC)$ [/mm] (und enthält A und B, was klar ist).
Um zu zeigen, dass [mm] $Q_8'$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $SL_2(\IC)$ [/mm] ist, könntest du dein Untergruppenkriterum oder die Untergruppendefinition anwenden. Dass die Untergruppendefinition erfüllt ist, lässt sich an der "Gruppen"tafel von [mm] $Q_8'$ [/mm] (noch wissen wir ja nicht, dass [mm] $Q_8'$ [/mm] eine Gruppe ist) ablesen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo ;)
Ich bin bei meiner Schreibweise geblieben, da ich gerne meinen (leider etwas komplizierteren) Ansatz treu bleiben möchte.
$ Q'_8 $ := $ [mm] \{ I, A, A^2 , A^3 , B, B^3 , AB, BA \} [/mm] $
Bleibt zuzeigen : [mm] Q_8 \subseteq [/mm] $Q'_8$
An der Multiplikationstafel sehe ich:
In jeder SPalte und Zeile kommt einmal I vor, dasheißt jedes Element besitzt ein multiplikativ inverses.
Ich sehe eine Spalte bzw. Zeile die unverändert bleibt -> neutrale Element
Die Assoziativität ist bei Matrizen sowieso gegeben.
Die Tafel ist nicht symmetrisch an der Diagonale-> nicht abelsch
Sie ist abgeschlossen unter der Multiplikation da in der Tafel nur elemente in M vorkommen.
Daraus schließe ich dass $Q'_8 $eine Gruppe ist.
1) Reicht das nun schon aus für das beispiel?
2) Was meintest du nun genau mit" Untergruppendefinition anwenden" an der Multiplikationstafel ?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> An der Multiplikationstafel sehe ich:
> In jeder SPalte und Zeile kommt einmal I vor, dasheißt
> jedes Element besitzt ein multiplikativ inverses.
> Ich sehe eine Spalte bzw. Zeile die unverändert bleibt ->
> neutrale Element
Etwas Vorsicht ist hier geboten, wenn du auf diese Art eine Struktur als Gruppe identifizieren möchtest: Nach Definition von neutralem und inversen Elementen genügt es zunächst einmal nicht, Zeilen und Spalten getrennt zu betrachten: Das "neutrale Element der Zeilen" muss mit dem "neutralen Element der Spalten" übereinstimmen. Genauso muss für jedes Element a dessen "Zeileninverses" und "Spalteninverses" übereinstimmen.
Auf zwei Arten kannst du doch dieses Problem umgehen:
1. Wenn die Multiplikationstafel wie hier ein Ausschnitt einer Gruppentafel einer schon als Gruppe identifizierten Struktur ist. Dann sind links(bzw. rechts)neutrale(bzw. inverse) Elemente automatisch neutral bzw. invers. Es reicht also, nur die Zeilen oder nur die Spalten zu betrachten.
2. Ist eine Verknüpfung assoziativ, besitzt ein linksneutrales Element und alle Elemente haben ein linksinverses Element, so liegt schon eine Gruppe vor. Analoges gilt mit "rechts" statt "links" (aber nicht mit "rechts" und "links" gemischt). Daher genügt es, für das neutrale Element nur die Spalten zu untersuchen und für die inversen Elemente die Zeilen. Ebenso genügt es, für das neutrale Element die Zeilen zu untersuchen und für die inversen Elemente die Spalten.
> Die Assoziativität ist bei Matrizen sowieso gegeben.
> Die Tafel ist nicht symmetrisch an der Diagonale-> nicht
> abelsch
> Sie ist abgeschlossen unter der Multiplikation da in der
> Tafel nur elemente in [mm] $\red{M}\blue{Q_8'}$ [/mm] vorkommen.
> Daraus schließe ich dass [mm]Q'_8 [/mm]eine Gruppe ist.
> 1) Reicht das nun schon aus für das beispiel?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
> 2) Was meintest du nun genau mit" Untergruppendefinition
> anwenden" an der Multiplikationstafel ?
Verlangt ist in der Untergruppendefinition:
1. [mm] $Q_8'$ [/mm] ist nicht leer
2. die Abgeschlossenheit unter der Verknüpfung
3. die Abgeschlossenheit unter Inversenbildung
1. ist offensichtlich, 2. und 3. hast du ja bereits der Tabelle entnommen.
Assoziativität musst du für Untergruppen nie explizit prüfen, sie vererbt sich automatisch von der "Obergruppe".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
okay vielen lieben dank,.
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