nicht-triviale Lös. von A < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche k [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] A\*\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] nicht trivial lösbar?
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & k & 2k \\ 0 & 0 & 0 & k(k-3) }
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bin erst über LaPlace an die Sache herangegangen hatte daraufhin k=3 und k=0 raus. Hatte dann allerdings wieder überlegt, dass man es auch mit Gauß hätte probieren können, da ich dann nicht alle anderen Determinanten ausrechnen müsste usw ... nur bei dem untersten schritt:
[mm] x_{3}(k(k-3))=0 [/mm] mit [mm] x_{3}\not=0 [/mm] d.h.
k(k-3)=0 führt zu [mm] k_{1}=3 [/mm] und [mm] k_{2}=0
[/mm]
Hab dort nun den überblick verloren wie muss ich an die Aufgabe am günstigsten rangehen, damit ich sie zeitlich effektiv löse...
vielen Dank für jede Hilfe!
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Hallo Somebodytoldme,
> Für welche k [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]A\*\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] nicht trivial
> lösbar?
>
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & k & 2k \\ 0 & 0 & 0 & k(k-3) }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bin erst über LaPlace an die Sache herangegangen hatte
> daraufhin k=3 und k=0 raus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Hatte dann allerdings wieder
> überlegt, dass man es auch mit Gauß hätte probieren können,
Was genau meinst du mit "mit Gauß probieren"?
Die angegebene Matrix ist doch schon wunderbar in Zeilenstufenform.
Ein homogenes LGS - wie hier - ist immer lösbar, wenn eindeutig, dann ist der Nullvektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] die Lösung.
An der letzten Zeile kannst du offensichtlich ablesen, dass du für [mm] $k\neq [/mm] 0,3$ durch $k(k-3)$ teilen darfst.
Dann hättest du in der letzten Zeile [mm] $x_4=0$
[/mm]
Dann Rückwärtseinsetzen --> [mm] $x_3=x_2=x_1=0$
[/mm]
Im Falle $k=3$ steht in der letzten Zeile 0=0
Da kannst du [mm] $x_4=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$ [/mm] beliebig belegen und die Lösungen für [mm] $x_3,x_2,x_1$ [/mm] (in Abh. von t) wieder durch Rückwärtseinsetzen ermitteln
Ist $k=0$, so steht in den letzten beiden Zeilen $0=0$, du hast also 2 Gleichungen in 4 Variablen, damit also 2 frei wählbare Parameter, setze [mm] $x_4=t, x_3=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$ [/mm] ...
> da ich dann nicht alle anderen Determinanten ausrechnen
> müsste usw ... nur bei dem untersten schritt:
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> [mm]x_{3}(k(k-3))=0[/mm] mit [mm]x_{3}\not=0[/mm] d.h.
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> k(k-3)=0 führt zu [mm]k_{1}=3[/mm] und [mm]k_{2}=0[/mm]
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> Hab dort nun den überblick verloren wie muss ich an die
> Aufgabe am günstigsten rangehen, damit ich sie zeitlich
> effektiv löse...
Das die obige Matrix schon in ZSF ist, ist der zweite Weg doch recht schnell, zumal du damit auch schnell explizit an die Lösungsgesamtheit für den Fall der nicht-trivialen Lösung kommst.
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> vielen Dank für jede Hilfe!
LG
schachuzipus
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