neutrales Element der Addition < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich habe hier einen Beweis zum neutralen Element der Addition in [mm] \IN.
[/mm]
Problem daran ist, dass wir in der Behauptung schreiben:
Für alle natürlichen Zahlen [mm] n\in\IN [/mm] gilt: n+0=n
1. mich wundert diese Behauptung, weil es doch eigentlich eine Definition ist, die man ja nicht beweisen muss.
2. In der Beweisführung beginnen wir den Induktionsschritt mit:
[mm] 0+\sigma(n)= [/mm] ....
Die Beweisführung ist mir zwar klar, aber nicht, wieso wir einfach schon das Kommuatativgesetz benutzen und nicht mit [mm] \sigma(n)+0 [/mm] beginnen.
Da es für mich auch eine Def. ist, weiß ich nicht, wie ich jetzt den Beweis mit: [mm] \sigma(n)+0= [/mm] weiterführen soll.
Macht das überhaupt Sinn? Es war damals unser 1. Induktionsbeweis, für den uns das KG ja noch garnicht zu Verfügung stand.
Kann mir da jemand helfen?
Liebe Grüße,
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 01.03.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo ferolei,
wenn ich nicht vor einigen Tagen Deine Frage nach der Additionsdefinition bearbeitet hätte, dann hätte ich wohl einige Schwierigkeiten, die vorliegende Frage zu verstehen. Aber gut!
1. Setzt man die damalige Definition durch v.I. voraus, dann ist für n + 0 = n in der Tat nichts zu zeigen, denn das war ja gerade Inhalt der Definition für jedes beliebige n. Aber! Aus dieser Definition folgt nur, dass 0 ein rechtsneutrales Element ist und noch lange nicht, dass auch 0 + n = n ist (ein neutrales Element muss immer beidseitig sein!)
2. Du hast Recht, die Kommutativität der Addition ist nach obiger Definition erst noch zu zeigen und fällt nicht vom Himmel, wenn man sich an dieser Stelle der Mathematik befindet, wo die Grundlagen gelegt werden und jede noch so "klare" Behauptung bewiesen werden muss. Auch dass n + 0 = 0 + n ist, muss man formal erst beweisen, bevor man es verwenden kann.
Aber! Gemäß 1. denke ich, dass hier wohl noch die Linksneutralität von 0 gezeigt werden soll, also, wie oben schon gesagt 0 + n = n.
Und um dies zu zeigen, wendet der Beweisführer jetzt auf 0 + n die Definition der Addition an:
0 + 0 = 0
0 + [mm] \sigma(n) [/mm] = [mm] \sigma(0+n) [/mm] usw.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Vielen Dank schon mal für deine Antwort.
Verstehe ich das also richtig, dass n+0=n aus der Definition hervorgeht?
Wie gesagt, den Beweis zu 0+n=n habe ich auch ganz leicht nachvollziehen können. Das Problem ist aber, dass er in der darauffolgenden Vorlesung als "erinnerung" auf einmal schrieb, dass wir n+0=0+n bewiesen hätten.
Aber wir haben ganz klar bewiesen, dass 0+n=n ist !
Ich habe jetzt mal versucht, den Beweis zu führen und stolpere über:
[mm] \sigma(n)+0 [/mm] = (n+1)+0 = ??? ich kann es auch von der anderen Seite versuchen, aber irgendwie komme ich da nicht auf die Gleichheit.
Mir steht ja bisher nur die Definition der Addition zur Verfügung.
Vielleicht ein kleiner Tipp? :)
Liebe Grüße,
Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 01.03.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo ferolei
> Vielen Dank schon mal für deine Antwort.
> Verstehe ich das also richtig, dass n+0=n aus der
> Definition hervorgeht?
Ja
> Wie gesagt, den Beweis zu 0+n=n habe ich auch ganz leicht
> nachvollziehen können. Das Problem ist aber, dass er in
> der darauffolgenden Vorlesung als "erinnerung" auf einmal
> schrieb, dass wir n+0=0+n bewiesen hätten.
> Aber wir haben ganz klar bewiesen, dass 0+n=n ist !
Jetzt siehst Du aber den Wald vor Bäumen nicht!
Wenn n + 0 = n und 0 + n = n bewiesen wurde, dann ist natürlich auch
n + 0 = 0 + n, wegen der Symmetrie und der Transitivität der Gleichheitsrelation, um es exakt zu begründen.
>
> Ich habe jetzt mal versucht, den Beweis zu führen und
> stolpere über:
> [mm]\sigma(n)+0[/mm] = (n+1)+0 = ??? ich kann es auch von der
> anderen Seite versuchen, aber irgendwie komme ich da nicht
> auf die Gleichheit.
>
> Mir steht ja bisher nur die Definition der Addition zur
> Verfügung.
>
> Vielleicht ein kleiner Tipp? :)
>
> Liebe Grüße,
>
> Ferolei
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ah, ok :)
Klar, mit Gleichsetzen funktioniert das natürlich ganz schnell... jetzt verstehe ich auch, wieso unser Prof das direkt zu hingeschrieben hat.
Dachte, dass ich das jetzt unabhängig davon nochmal beweisen muss.
Ich danke dir !
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