neg.Binomialverteil,Pascalvert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 05.01.2006 | | Autor: | sachmeth |
1) Zeigen Sie, daß für p [mm] \in [/mm] (0, 1) und n [mm] \in \IN [/mm] durch
f(k) := [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} p^{n} [/mm] (1 - [mm] p)^{k} [/mm] , k [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
eine Zähldichte auf [mm] \IN_{0} [/mm] definiert wird. (Das zugeörige Wahrscheinlichkeitsmaß NB(n, p) nennt man die negative Binomialverteilung zu den Parametern n, p.)
2) Verifizieren Sie, daß durch
[mm] G_{X}(s) [/mm] = [mm] (\bruch{p}{1 - (1 - p)s})^{n}
[/mm]
die erzeugende Funktion einer NB(n, p)-verteilten Zufallsvariable X gegeben ist und bestimmen Sie mit deren Hilfe den Erwartungswert und die Varianz von X.
zu 2) gibt es noch einen Hinweis: Für t [mm] \in [/mm] (-1, 1), a [mm] \in \IR [/mm] gilt: (1 + [mm] t)^{a} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \vektor{a \\ k} t^{k}
[/mm]
Für 1) hätte ich folgenden Lösungsansatz:
Für die Verteilung der Wartezeit gilt [mm] p_{k} [/mm] = [mm] q^{k - 1} [/mm] p , k [mm] \ge [/mm] 1 ; also ist g(z) = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} q^{k - 1} [/mm] p [mm] z^{k} [/mm] = [mm] \bruch{pz}{1 - qz} [/mm] . Sei nun [mm] S_{n} [/mm] = [mm] T_{1} [/mm] + ... + [mm] T_{n} [/mm] mit unabhängigen T-Variablen, die alle das g als Erzeugendenfunktion haben. Dann ist [mm] S_{n} [/mm] die Wartezeit bis zum n-ten Erfolg. Ihre Erzeugendenfunktion ist durch [mm] g^{n}gegeben [/mm] und dies nun, unter Anwendung der binomischen Reihe, zur Potenzreihe entwickelt ergibt:
[mm] g(z)^{n} [/mm] = [mm] (\bruch{pz}{1 - qz})^{n} [/mm] = [mm] p^{n} z^{n} \summe_{k=1}^{ \infty} \vektor{-n \\ k} (-qz)^{j} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \vektor{n+k-1 \\ n-1} p^{n} q^{k} z^{n+k} [/mm] = [mm] \summe_{j=n}^{ \infty} \vektor{j-1 \\ n-1} p^{n} q^{j-n} z^{j} [/mm] .
Nun hieraus den Summanden mit j = n+k, so erhält man für k [mm] \ge [/mm] 0:
[mm] P(S_{n} [/mm] = n+k) = f(k) = [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} p^{n} q^{k}
[/mm]
was für q = (1 - p) genau der zu zeigenden Zähldichte entspricht.
Jedoch bei 2) weiß ich überhaupt nicht wie ich die Aufgabe lösen soll, darum wäre es wirklich toll wenn ihr mir helfen würdet. Danke schon mal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
1) kannst du mit Hilfe der Binomialreihe zeigen:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] {n+k-1 [mm] \choose [/mm] k} [mm] p^n (1-p)^k$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] {-n [mm] \choose k}p^n (1-p)^k$
[/mm]
$= [mm] p^n \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] {-n [mm] \choose [/mm] k} [mm] [-(1-p)]^k$
[/mm]
$= [mm] p^n (1-(1-p))^{-n}$
[/mm]
[mm] $=p^n \cdot p^{-n}$
[/mm]
$=1$.
2) kannst du zum Beispiel ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") hier in meinem Musterlösungen (Aufgabe G4) nachlesen...
Liebe Grüße
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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