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Forum "Uni-Stochastik" - n Paare tanzen (Siebformel)
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n Paare tanzen (Siebformel): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 So 17.05.2020
Autor: Annkathrin20

Aufgabe
An einem Ball nehmen $n$ Paare teil.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $p_{n}$, [/mm] dass keiner der Herren mit seiner eigenen Begleiterin tanzt, wenn die Tanzpartner durch das Los bestimmt werden ?

Bestimme [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p_{n}$ [/mm]

Hallo!

Ich möchte die Lösungen zur obigen  Aufgabe verstehen.  


Die Lösung lautet:



Sei [mm] $(\Omega, [/mm] F, P)$ unser Wahrscheinlichkeitsraum mit


[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (\omega_{1}, \ldots, \omega_{n})\; \vert \; 1 \le w_{i} \le n , \omega_{i} \neq w_{j} \; \forall i \neq j \} [/mm] = [mm] S_{n}$ [/mm]


$F = [mm] P(\Omega)$ [/mm]

$P = [mm] Unif(\Omega)$ [/mm]



$B  =$ "Kein Paar tanzt zusammen" $= [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega_{i} \neq i \; \forall i = 1, \ldots , n \}$ [/mm]

[mm] $A_{i} [/mm] =$ "Paar i tanzt zusammen" $= [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega_{i} = i \}$ [/mm] für $ i =1, 2, [mm] \ldots, [/mm] n$


[mm] $p_{n} [/mm] := P(B) = P [mm] \left ( \bigcap\limits_{i = 1}^{n} \overline{A}{i} \right [/mm] ) = 1 - P [mm] \left ( \bigcup\limits_{i = 1}^{n} A_{i} \right [/mm] ) [mm] \overset{\text{Siebformel}}{\underset{\text{}}{=}} [/mm] = 1 - [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} [/mm] (- [mm] 1)^{j - 1} \sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} P(\underbrace{A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}}_{=:\; \text{" Paare}\; i{1}, \ldots, i_{j}\; \text{tanzen zusammen"}})$ [/mm]

$ = 1 -  [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} [/mm] (- [mm] 1)^{j - 1} \sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} \frac{(n - j)!}{n!} [/mm] = 1 -  [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} [/mm] (- [mm] 1)^{j - 1}\frac{(n - j)!}{n!} \sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} [/mm]  1 = 1 -  [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} [/mm] (- [mm] 1)^{j - 1}\frac{(n - j)!}{n!} \frac{n!}{j! (n - j)!} [/mm] = 1 +  [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} [/mm] (- [mm] 1)^{j}\frac{1}{j!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 0}^{n} \frac{(- 1)^{j}}{j!}$ [/mm]


Wenn wir den Limes von [mm] $p_{n}$ [/mm] bilden, erhalten wir


[mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p_{n} =\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{j = 0}^{n} \frac{(- 1)^{j}}{j!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{j}}{j!} [/mm] = [mm] e^{- 1} [/mm] = [mm] \frac{1}{e}$ [/mm]



An der Lösung verstehe ich 3 Dinge nicht:



1.) Was soll diese Summe [mm] $\sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} P(\underbrace{A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}}_{=:\; \text{" Paare}\; i{1}, \ldots, i_{j}\; \text{tanzen zusammen"}})$ [/mm] eigentlich sein ?

Warum werden die [mm] $A_{i}$ [/mm] durchnummeriert ?   Was soll den [mm] $A_{i_{1}}$ [/mm] beispielsweise bedeuten ?


Ich verstehe irgendwie nicht, wie man diese Summe ausschreibt...




2.) Wie kommt man auf die Gleichung [mm] $P(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}) [/mm] = [mm] \frac{(n -j )!}{n!}$ [/mm] ?


[mm] $P(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}})$ [/mm] ist doch die Wkeit, dass jeder Tänzer mit seiner eigenen Tänzerin tanzt. Und das kann doch nur 1x auftreten.



3.) Wie kommt man auf [mm] $\sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} [/mm]  1 = [mm] \frac{n!}{j!(n - j)!}$ [/mm] ?


Diese Frage beantwortet sich vielleicht von selbst, wenn ich verstanden habe, wie man so eine Summe ausschreibt.



Freue mich, wenn mir jemand helfen kann.


Ich bedanke mich im Voraus

Gruß, Anni




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
n Paare tanzen (Siebformel): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 So 17.05.2020
Autor: luis52

Moin Annkathrin20

[willkommenmr]

> An der Lösung verstehe ich 3 Dinge nicht:
>  
>
>
> 1.) Was soll diese Summe [mm]\sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} P(\underbrace{A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}}_{=:\; \text{" Paare}\; i{1}, \ldots, i_{j}\; \text{tanzen zusammen"}})[/mm]
> eigentlich sein ?
>  
> Warum werden die [mm]A_{i}[/mm] durchnummeriert ?   Was soll den
> [mm]A_{i_{1}}[/mm] beispielsweise bedeuten ?
>  
>
> Ich verstehe irgendwie nicht, wie man diese Summe
> ausschreibt...

Die Summe bezieht sich auf alle $j$ Indices, die zwischen 1 und $n$ liegen.

Bsp: $n=4$. Fuer $j=2$ gibt es sechs Summen, und zwar mit den Indices (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) und (3,4). Fuer $j=3$ gibt es 4.


>  
>
>
>
> 2.) Wie kommt man auf die Gleichung [mm]P(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}) = \frac{(n -j )!}{n!}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

?


Das Ereignis $A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}$ bedeutet, dass  die $j$ Paare $i_{1}}, i_2, \ldots,i_{j}$ miteinander tanzen. Fuer die restlichen $n-j$ Paare gibt es $(n-j)!$ Moeglichkeiten, dass die jeweiligen Tanzpartner zugeordnet werden. Die Wsk ergibt sich dadurch, dass es $n!$ Moeglichkeiten gibt, *alle* Tanzpaare zu bilden.




>  
>
>
> 3.) Wie kommt man auf [mm]\sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} 1 = \frac{n!}{j!(n - j)!}[/mm]  ?

Diese Summe ist die Anzahl der Moeglichkeiten, $j$ Indices aus $n$ auszuwaehlen.


Bezug
                
Bezug
n Paare tanzen (Siebformel): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Di 19.05.2020
Autor: Annkathrin20

Hallo :-)


Sorry für die verspätete Rückmeldung, hatte mit den neuen Aufgaben zu kämpfen.


> > 1.) Was soll diese Summe [mm]\sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} P(\underbrace{A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}}_{=:\; \text{" Paare}\; i{1}, \ldots, i_{j}\; \text{tanzen zusammen"}})[/mm]
> > eigentlich sein ?
>  >  
> > Warum werden die [mm]A_{i}[/mm] durchnummeriert ?   Was soll den
> > [mm]A_{i_{1}}[/mm] beispielsweise bedeuten ?
>  >  
> >
> > Ich verstehe irgendwie nicht, wie man diese Summe
> > ausschreibt...
>  
> Die Summe bezieht sich auf alle [mm]j[/mm] Indices, die zwischen 1
> und [mm]n[/mm] liegen.
>
> Bsp: [mm]n=4[/mm]. Fuer [mm]j=2[/mm] gibt es sechs Summen, und zwar mit den
> Indices (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) und (3,4). Fuer
> [mm]j=3[/mm] gibt es 4.




Tut mir Leid, ich verstehe irgendwie nur Bahnhof...


Wenn sich die Summe nur auf die Indizes $j$ bezieht, die zwischen $1$ und $n$ liegen, warum schreibt man dann


$1 [mm] \le i_{1} [/mm] <  [mm] i_{2} \ldots [/mm] < [mm] i_{r} \le [/mm] n$ ?

Wieso reicht es nicht aus, $1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n$ zu schreiben ?

Das ist so eine verwirrende Notation. Ich könnte für ein konkretes Beispiel diese Summe nicht ausschreiben, weil ich sie einfach nicht richtig lesen kann.




Seien Mengen [mm] $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ [/mm] gegeben.

Dann ist $P [mm] \left ( \bigcup_{i = 1}^{3} M_{i} \right [/mm] ) = P( [mm] M_{1} [/mm] )   + P( [mm] M_{2} [/mm] )  + P( [mm] M_{3} [/mm] )  - P( [mm] M_{1} \cap M_{2} [/mm] ) - P( [mm] M_{1} \cap M_{3} [/mm] ) - P( [mm] M_{2} \cap M_{3} [/mm] ) + P( [mm] M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} [/mm] )$


Das habe ich jetzt mal ohne die Formel berechnet.


Könntest du mir zeigen, wie man  $P [mm] \left ( \bigcup_{i = 1}^{3} M_{i} \right [/mm] ) $ mit der Siebformel berechnet ? Damit ich das einmal gesehen habe.

Ich komme mit der Summe echt nicht klar....



Würde mich über eine weitere Antwort riesig freuen!


Gruß, Anni


Bezug
                        
Bezug
n Paare tanzen (Siebformel): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Di 19.05.2020
Autor: statler

Hey Anni!

> Hallo :-)
>  
>
> Sorry für die verspätete Rückmeldung, hatte mit den
> neuen Aufgaben zu kämpfen.
>  
>
> > > 1.) Was soll diese Summe [mm]\sum\limits_{1 \le i_{1} < \ldots < i_{j} \le n} P(\underbrace{A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{j}}}_{=:\; \text{" Paare}\; i{1}, \ldots, i_{j}\; \text{tanzen zusammen"}})[/mm]
> > > eigentlich sein ?
>  >  >  
> > > Warum werden die [mm]A_{i}[/mm] durchnummeriert ?   Was soll den
> > > [mm]A_{i_{1}}[/mm] beispielsweise bedeuten ?
>  >  >  
> > >
> > > Ich verstehe irgendwie nicht, wie man diese Summe
> > > ausschreibt...
>  >  
> > Die Summe bezieht sich auf alle [mm]j[/mm] Indices, die zwischen 1
> > und [mm]n[/mm] liegen.
> >
> > Bsp: [mm]n=4[/mm]. Fuer [mm]j=2[/mm] gibt es sechs Summen, und zwar mit den
> > Indices (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) und (3,4). Fuer
> > [mm]j=3[/mm] gibt es 4.
>  
>
>
>
> Tut mir Leid, ich verstehe irgendwie nur Bahnhof...
>  
>
> Wenn sich die Summe nur auf die Indizes [mm]j[/mm] bezieht, die
> zwischen [mm]1[/mm] und [mm]n[/mm] liegen, warum schreibt man dann
>
>
> [mm]1 \le i_{1} < i_{2} \ldots < i_{r} \le n[/mm] ?
>  
> Wieso reicht es nicht aus, [mm]1 \le j \le n[/mm] zu schreiben ?

siehe unten

> Das ist so eine verwirrende Notation. Ich könnte für ein
> konkretes Beispiel diese Summe nicht ausschreiben, weil ich
> sie einfach nicht richtig lesen kann.

Also 1 und n sind für den Verlauf dieses Aufgabenteils feste natürliche Zahlen. Als nächstes wählen wir r [mm] \in \IN [/mm] bis auf weiteres auch fest zwischen 1 und n einschließlich. Um ein System zu haben, können wir mit r = 1 anfangen und dann in den späteren Schritten um 1 erhöhen, bis wir bei r = n angekommen sind (so würde ein Programmierer das wohl machen). Und jetzt kommen die i's an die Reihe, davon brauchen wir in dieser r-Schleife immer 1 Stück zur Zeit, und es muß auch zwischen 1 und n einschließlich liegen. Das gibt n Möglichkeiten dafür, die ich abarbeiten muß. Danach verlasse ich r = 1 und erhöhe auf r = 2. Jetzt brauche ich 2 i's, von denen das erste kleiner sein muß als das zweite, beide zwischen 1 und n einschließlich. Um hier ein System zu haben, nehmen wir für das erste i die 1 und für das zweite nacheinander die 2, die 3 usw. bis n, dann für das erste i die 2 und für das zweite nacheinander die 3, die 4 usw. bis n etc pp...
Vielleicht wäre es gut, das als generisches Computerprogramm mit Schleifen und Einrückungen zu schreiben, ich hab das aus Altersgründen nicht so drauf.

> Seien Mengen [mm]M_{1}, M_{2}, M_{3}[/mm] gegeben.
>  
> Dann ist [mm]P \left ( \bigcup_{i = 1}^{3} M_{i} \right ) = P( M_{1} ) + P( M_{2} ) + P( M_{3} ) - P( M_{1} \cap M_{2} ) - P( M_{1} \cap M_{3} ) - P( M_{2} \cap M_{3} ) + P( M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} )[/mm]
>  
>
> Das habe ich jetzt mal ohne die Formel berechnet.

Das ist doch die Siebformel für n = 3, oder?

>  
>
> Könntest du mir zeigen, wie man  [mm]P \left ( \bigcup_{i = 1}^{3} M_{i} \right )[/mm]
> mit der Siebformel berechnet ? Damit ich das einmal gesehen
> habe.
>  
> Ich komme mit der Summe echt nicht klar....

Merkwürdig, eine Summenformel ist doch eine präzise Arbeitsanweisung (in mathematischer Kurzschrift, damit die Russen das nicht verstehen).

Gruß
Dieter

Bezug
                        
Bezug
n Paare tanzen (Siebformel): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Di 19.05.2020
Autor: luis52



>
> Seien Mengen [mm]M_{1}, M_{2}, M_{3}[/mm] gegeben.
>  
> Dann ist [mm]P \left ( \bigcup_{i = 1}^{3} M_{i} \right ) = P( M_{1} ) + P( M_{2} ) + P( M_{3} ) - P( M_{1} \cap M_{2} ) - P( M_{1} \cap M_{3} ) - P( M_{2} \cap M_{3} ) + P( M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} )[/mm]
>  
>
> Das habe ich jetzt mal ohne die Formel berechnet.
>  
>
> Könntest du mir zeigen, wie man  [mm]P \left ( \bigcup_{i = 1}^{3} M_{i} \right )[/mm]
> mit der Siebformel berechnet ? Damit ich das einmal gesehen
> habe.
>

Okay:

$P( [mm] M_{1} [/mm] )   + P( [mm] M_{2} [/mm] )  + P( [mm] M_{3} )=\sum_{1\le i_1\le 3}P(M_{i_1})$ [/mm]
$P( [mm] M_{1} \cap M_{2} [/mm] ) + P( [mm] M_{1} \cap M_{3} [/mm] ) + P( [mm] M_{2} \cap M_{3} )=\sum_{1\le i_1 $P( [mm] M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} )=\sum_{1\le i_1




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