n-te ableitung vom tangens < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hiho,
ich soll zeigen, dass die n-te ableitung von f(x)= tan(x) als Polynome (n+1)ten grade in tan x ausdrückbar sind.
muß ich da die reihen von sin und cos benutzen?
oder einfach tan(x)= sin(x) / cos(x) ableiten und dann sieht man das von selbst?
greetz
dschingis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 25.01.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Sieht ein polynom nicht so aus: [mm] f(x)=a_{n}*x^{n}.....a_{0}[/mm]?
oder kann ein Polynom auch wie in diesem Fall aussehen [mm]f(x)=\tan^{2}(x) +1 [/mm]?
Das interessiert mich wirklich mal weil mir kein Prof und Lehrer eine Aussagende Antwort geben wollte....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Sieht ein polynom nicht so aus:
> [mm]f(x)=a_{n}*x^{n}.....a_{0}[/mm]?
> oder kann ein Polynom auch wie in diesem Fall aussehen
> [mm]f(x)=\tan^{2}(x) +1 [/mm]?
> Das interessiert mich wirklich mal
> weil mir kein Prof und Lehrer eine Aussagende Antwort geben
> wollte....
Natürlich ist [mm] $\tan^{2}(x) [/mm] +1$ kein Polynom in der Variablen x.
Aber wenn ich im Polynom [mm] $P(z)=z^2+1$ [/mm] die Variable z durch [mm] $\tan(x)$ [/mm] ersetze, dann
erhalte ich [mm] $\tan^{2}(x) [/mm] +1$, deshalb spricht man von einem Polynom in der "Variablen [mm] $\tan(x)$".
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:21 Do 27.01.2005 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo!
Ich habe diese Aufgabe auch zu lösen.
Die Ableitungen sind kein Problem, aber wie genau soll ich das jetzt als Polynom (n+1)ten Grades schreiben?
Könnt ihr mir bitte helfen!?
Gruß, Sabine_
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 27.01.2005 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo, wollte noch schnell die Ableitungen schreiben:
Wenn ich ein Polynom P(z) aufstellen möchte und z = tan x, dann sind meine Ableitungen
1. [mm] 1+z^2
[/mm]
2. 2z + 2 [mm] z^3
[/mm]
3. [mm] 2+8z^2 [/mm] + [mm] 6z^4
[/mm]
4. 16z + [mm] 12z^2 [/mm] + [mm] 28z^3 [/mm] + [mm] 12z^4 [/mm] + [mm] 12z^5
[/mm]
Und wie stelle ich jetzt das Polynom auf?
Gruß, Sabine_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 27.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo, wollte noch schnell die Ableitungen schreiben:
>
> Wenn ich ein Polynom P(z) aufstellen möchte und z = tan x,
> dann sind meine Ableitungen
>
> 1. [mm]1+z^2
[/mm]
> 2. 2z + 2 [mm]z^3
[/mm]
> 3. [mm]2+8z^2[/mm] + [mm]6z^4
[/mm]
> 4. 16z + [mm]12z^2[/mm] + [mm]28z^3[/mm] + [mm]12z^4[/mm] + [mm]12z^5
[/mm]
Die 4-te Ableitung ist falsch, richtig wäre [mm] $24z^5+40z^3+16z$, [/mm] wobei [mm] $z=\tan(x)$.
[/mm]
>
> Und wie stelle ich jetzt das Polynom auf?
Ich glaube nicht, dass eine explizite Darstellung für die n-te Ableitung von [mm] $\tan(x)$ [/mm] gefordert ist.
Man muss nur beweisen, dass die n-te Ableitung von [mm] $\tan(x)$ [/mm] ein Polyonom vom Grad n+1 in der Variablen [mm] $z=\tan(x)$ [/mm] ist.
Das beweist man natürlich mit Indukton nach n. (selber ausprobieren!)
mfG Moudi
>
> Gruß, Sabine_
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