n-te Ableitung f(x)-->sin(x) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 So 30.10.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
In der Schlue arbeiten wir mit einem CAS-Rechner.
Ich versuche n-te Ableitung von f(x)--> sin(x) herauszufinden, (um es dann mittels vollständiger Induktion zu beweisen.
Aber wie kann ich die n-te Ableitung bestimmen???
Danke
Zlata
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Hallo Zlata
> In der Schlue arbeiten wir mit einem CAS-Rechner.
> Ich versuche n-te Ableitung von f(x)--> sin(x)
> herauszufinden, (um es dann mittels vollständiger Induktion
> zu beweisen.
>
> Aber wie kann ich die n-te Ableitung bestimmen???
>
In diesem Fall brauchst du kein Computer Algebra System.
[mm]f(x)=f^{(0)}(x)=\sin x[/mm]
[mm]f^{\prime}(x)=f^{(1)}(x)=\cos x[/mm]
[mm]f^{\prime\prime}(x)=f^{(2)}(x)=-\sin x[/mm]
[mm]f^{\prime\prime\prime}(x)=f^{(3)}(x)=-\cos x[/mm]
[mm]f^{(4)}(x)=\sin x[/mm]
[mm]f^{(5)}(x)=\cos x[/mm]
[mm]f^{(6)}(x)=-\sin x[/mm]
[mm]f^{(7)}(x)=-\cos x[/mm]
[mm]f^{(8)}(x)=\sin x[/mm]
[mm]f^{(9)}(x)=\cos x[/mm]
[mm]f^{(10)}(x)=-\sin x[/mm]
[mm]f^{(11)}(x)=-\cos x[/mm]
Fällt dir etwas auf?
Versuche die (n)-te Ableitung in Abhängigkeit von n auszudrücken!
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 30.10.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Als mir ist klar, dass jede Ergebnis periodisch wiederkehrt.
Ich habe versucht, dass in einer Zahlenfolge auszudrücken, doch das hat nicht geklappt.
Danke für weitere Hilfe
Zlata
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Hi, zlata,
also vielleicht ist das erst mal besser als nichts:
(jeweils mit n [mm] \in \IN\cup \{0\})
[/mm]
[mm] f^{(4n)} [/mm] = sin(x)
[mm] f^{(4n+1)} [/mm] = cos(x)
[mm] f^{(4n+2)} [/mm] = -sin(x)
[mm] f^{(4n+3)} [/mm] = -cos(x)
Aber ganz "strange" wäre Folgendes:
[mm] f^{(n)} [/mm] = [mm] sin(x+n*\bruch{\pi}{2})
[/mm]
(Prüf's mal nach, weil mir die Idee wirklich jetzt grade erst gekommen ist!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 So 30.10.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo Zwerglein!
Danke für deinen Tipp.
Habe deine Lösung mittels vollständiger induktion überprüft und es stimmt!!!!
Danke!!!!!!!!!
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