multiplikativ < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei p Primzahl. Sie f zahlentheoretische Funktion [mm] mitf(n)=\begin{cases}
1 & \mbox{falls }p\,\nmid\, n\\
0 & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Ist f multipikativ? |
Hallo,
ich sage, dass f multiplikativ ist, denn seien m und n teilerfremd.
1. Fall: OBdA p|n aber nicht m.
Dann gilt: [mm] f(mn)=0=f(m)f(n) [/mm].
2. Fall: p teilt nicht n und nicht m:
Dann gilt: [mm] f(mn)=1=f(m)f(n) [/mm]
3. Fall: p teilt beide.
Dann gilt [mm] f(mn)=0=f(m)f(n) [/mm].
Stimmt das? Ich fand die Aufgabe nur so verdächtig formuliert, als ob man gleich sehen müsste, dass das falsch ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p Primzahl. Sie f zahlentheoretische Funktion
> [mm]mitf(n)=\begin{cases}
1 & \mbox{falls }p\,\nmid\, n\\
0 & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> Ist f multipikativ?
> Hallo,
>
> ich sage, dass f multiplikativ ist, denn seien m und n
> teilerfremd.
> 1. Fall: OBdA p|n aber nicht m.
> Dann gilt: [mm]f(mn)=0=f(m)f(n) [/mm].
> 2. Fall: p teilt nicht n
> und nicht m:
> Dann gilt: [mm]f(mn)=1=f(m)f(n)[/mm]
Hier musst du noch eine Kleinigkeit begruenden.
> 3. Fall: p teilt beide.
> Dann gilt [mm]f(mn)=0=f(m)f(n) [/mm].
>
> Stimmt das? Ich fand die Aufgabe nur so verdächtig
> formuliert, als ob man gleich sehen müsste, dass das
> falsch ist.
Die Aussage ist (falls $p > 1$ eine natuerliche Zahl ist) sogar dazu aequivalent, dass $p$ Primzahl ist. (Es muessen uebrigens $m$ und $n$ nichtmals teilerfremd sein, damit dein obiger Beweis funktioniert.)
LG Felix
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