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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Tensoralgebra. Und zwar bezeichne [mm] V_r^s [/mm] die Tensorräume und T(V) die Tensoralgebra, welche als direkte Summe der Tensorräume definiert ist.
wenn nun [mm] v=v_1\otimes...\otimes v_r\otimes v_1^\*...\otimes v_s^\* \in V_r^s [/mm] , [mm] w=w_1\otimes... \otimes w_{r'} \otimes w_1^\*...\otimes w_{s'}^\* \in V_{r'}^{s'}
[/mm]
[mm] =>v\otimes [/mm] w:= [mm] v_1\otimes...\otimes v_r \otimes w_1\otimes... \otimes w_{r'}\otimes v_1^\*...\otimes v_s^\*\otimes w_1^\*...\otimes w_{s'}^\* \in V_{r+r'}^{s+s'}
[/mm]
Indem man diese multiplikation linear fortsetzt auf T(V) , wird T(V) eine Algebra. Damit bin ich einverstanden.
Ich frage mich nur gerade, ob diese multiplikation wohldefiniert ist.
z.B. falls [mm] v_1+v_2=w [/mm] , ist dann auch [mm] (v_1+v_2)\otimes z=v_1\otimes z+v_2\otimes [/mm] z?
Vermutlich mache ich mir umsonst sorgen, aber ich sehe nicht so richtig, warum das i.A. gilt.
Kann mir das jemand erklären?
Ich glaube mir ist soeben eine Teillösung eingefallen.
wenn [mm] v_1+v_2=w [/mm] gilt, d.h. [mm] v_1, v_2 [/mm] zusammenfassbar sind, so müssen diese natürlich aus demselben Tensorraum stammen, d.h. [mm] v_1,v_2\in V_r^s.
[/mm]
Wenn nun auch z [mm] \in V_r^s, [/mm] dann gilt die Gleichung per Definition!
was passiert aber, wenn z [mm] \in V_{r'}^{s'} [/mm] ist?
Gruß
Braten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Fr 28.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe eine Frage zur Tensoralgebra. Und zwar bezeichne
> [mm]V_r^s[/mm] die Tensorräume und T(V) die Tensoralgebra, welche
> als direkte Summe der Tensorräume definiert ist.
>
> wenn nun [mm]v=v_1\otimes...\otimes v_r\otimes v_1^\*...\otimes v_s^\* \in V_r^s[/mm]
> , [mm]w=w_1\otimes... \otimes w_{r'} \otimes w_1^\*...\otimes w_{s'}^\* \in V_{r'}^{s'}[/mm]
>
> [mm]=>v\otimes[/mm] w:= [mm]v_1\otimes...\otimes v_r \otimes w_1\otimes... \otimes w_{r'}\otimes v_1^\*...\otimes v_s^\*\otimes w_1^\*...\otimes w_{s'}^\* \in V_{r+r'}^{s+s'}[/mm]
>
> Indem man diese multiplikation linear fortsetzt auf T(V) ,
> wird T(V) eine Algebra. Damit bin ich einverstanden.
> Ich frage mich nur gerade, ob diese multiplikation
> wohldefiniert ist.
> z.B. falls [mm]v_1+v_2=w[/mm] , ist dann auch [mm](v_1+v_2)\otimes z=v_1\otimes z+v_2\otimes[/mm]
> z?
>
> Vermutlich mache ich mir umsonst sorgen, aber ich sehe
> nicht so richtig, warum das i.A. gilt.
> Kann mir das jemand erklären?
>
> Ich glaube mir ist soeben eine Teillösung eingefallen.
> wenn [mm]v_1+v_2=w[/mm] gilt, d.h. [mm]v_1, v_2[/mm] zusammenfassbar sind,
> so müssen diese natürlich aus demselben Tensorraum
> stammen, d.h. [mm]v_1,v_2\in V_r^s.[/mm]
> Wenn nun auch z [mm]\in V_r^s,[/mm]
> dann gilt die Gleichung per Definition!
>
> was passiert aber, wenn z [mm]\in V_{r'}^{s'}[/mm] ist?
Weil [mm] $v_1, v_2$ [/mm] nicht in der gleichen Komponente liegen?
Also allgemein wird die Multiplikation in zwei Schritten konstruiert.
Einmal konstruierst du die Multiplikation [mm] $V_r^s \times V_{r'}^{s'} \to V_{r+r'}^{s+s'}$, [/mm] und dann konstriuerst du daraus die Multipliaktion $T(V) [mm] \times [/mm] T(V) [mm] \to [/mm] T(V)$.
Erstmal zum zweiten Schritt: angenommen, fuer alle Paare $(r, s), (r', s')$ haben wir eine wohldefinierte, bilineare Multiplikation [mm] $m_{r,r',s,s'} [/mm] : [mm] V_r^s \times V_{r'}^{s'} \to V_{r+r'}^{s+s'}$. [/mm] Um daraus eine bilineare Abbildung $m : T(V) [mm] \times [/mm] T(V) [mm] \to [/mm] T(V)$ zu bekommen, kann man ganz allgemein zeigen:
Ist [mm] $U_i$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ eine Familie von $K$-Vektorraeumen, [mm] $W_j$, [/mm] $j [mm] \in [/mm] J$ eine Familie von $K$-Vektorraeumen, und ist $V$ ein weiterer $K$-Vektorraum, und ist zu jedem Paar $(i, j) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J$ eine $K$-bilineare Abbildung [mm] $f_{i,j} [/mm] : [mm] U_i \times W_j \to [/mm] V$ gegeben, so gibt es genau eine $K$-bilineare Abbildung $f : [mm] \bigoplus_{i\in I} U_i \times \bigoplus_{j\in J} W_j \to [/mm] V$ mit [mm] $f(\iota_i(u_i), \iota_j(w_j)) [/mm] = [mm] f_{i,j}(u_i, w_j)$ [/mm] fuer alle [mm] $u_i \in U_i$, $w_j \in W_j$, [/mm] wobei [mm] $\iota_i [/mm] : [mm] U_i \to \bigoplus_{t\in I} U_t$ [/mm] und [mm] $\iota_j [/mm] : [mm] W_j \to \bigoplus_{t\in J} W_j$ [/mm] die natuerlichen Inklusionen sind.
Das ist sozusagen eine Art universelle Eigenschaft und du kannst es so allgemein in dieser Form beweisen. Es ist hauptsaechlich etwas Rechenarbeit, aber nichts schweres 
Nun zum ersten Schritt: Konstruktion von [mm] $V_r^s \times V_{r'}^{s'} \to V_{r+r'}^{s+s'}$. [/mm] Das kann man auch recht abstrakt machen. Erstmal kannst du dir ueberlegen, dass [mm] $V_{r+r'}^{s+s'} \cong V_r^s \otimes V_{r'}^{s'}$ [/mm] ist ("Assoziativitaet und Kommutativitaet des Tensorproduktes"). Wenn dir dies klar ist, siehst du (indem du den Isomorphismus einsetzt und das ganze aufdroeselst): es reicht zu zeigen, dass die Abbildung [mm] $V_r^s \times V_{r'}^{s'} \to V_r^s \otimes V_{r'}^{s'}$, [/mm] $(v, v') [mm] \mapsto [/mm] v [mm] \otimes [/mm] v'$ bilinear ist. Aber das ist ja gerade die kanonische Abbildung aus der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes, und die ist immer bilinear.
LG Felix
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