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| Aufgabe | | Sei c die 10te primitivwurzel von 1. Finde das Minimalpolynom. |
Hi! Ich hab einfach ein bisschen Mühe mit diesem Minimalpolynom. Gibt's dann ein konkretes Vorgehen. Bei einer anderen Aufgabe (Minimalpolynom von [mm] \wurzel{3} [/mm] + [mm] \wurzel{5} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] bzw [mm] \IQ (\wurzel{15}) [/mm] ) habe ich einfach von unten her ausprobiert.
(meine lösngen wären [mm] x^{4}-16 x^{2} [/mm] + 4 bzw [mm] x^{2}-8-2x^{15} [/mm] , stimmt das?)
Aber ich finde dieses "pröbeln" etwas unseriös. Gibt es kein sauberes Verfahren? Vorallem auch auf meine benstehende Aufgabe bezogen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mi 02.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Sei c die 10te primitivwurzel von 1. Finde das
> Minimalpolynom.
>
> Hi! Ich hab einfach ein bisschen Mühe mit diesem
> Minimalpolynom. Gibt's dann ein konkretes Vorgehen. Bei
> einer anderen Aufgabe (Minimalpolynom von [mm]\wurzel{3}[/mm] +
> [mm]\wurzel{5}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] bzw [mm]\IQ (\wurzel{15})[/mm] ) habe ich
> einfach von unten her ausprobiert.
Das ist fuer solche Zahlen auch die beste Moeglichkeit.
> (meine lösngen wären [mm]x^{4}-16 x^{2}[/mm] + 4 bzw
> [mm]x^{2}-8-2x^{15}[/mm] , stimmt das?)
Das erste stimmt, aber das zweite soll wohl eher [mm] $x^2 [/mm] - 8 - 2 [mm] \sqrt{15}$ [/mm] heissen, oder? Das waer naemlich richtig.
> Aber ich finde dieses "pröbeln" etwas unseriös. Gibt es kein sauberes Verfahren?
Im Allgemeinen eher nicht. (Zumindest kein mir bekanntes.)
> Vorallem auch auf meine benstehende Aufgabe bezogen? Danke!
Bei dieser Aufgabe schon 
Und zwar brauchst du dazu etwas Wissen ueber die zyklotomischen Polynome. Weisst du etwas darueber? Oder zumindest etwas ueber den Grad der Erweiterung [mm]\IQ(c) / \IQ[/mm]? (Hinweis: der hat was mit der Einheitengruppe von [mm] $\IZ/10\IZ$ [/mm] zu tun, also mit [mm] $\phi(10).)
[/mm]
Allgemein ist $c$ ja Nullstelle von [mm] $x^{10} [/mm] - 1$. Weisst du etwas ueber die Faktorisierung dieses Polynoms ueber [mm] $\IQ$? [/mm] (Die Faktoren sind gerade ein paar bestimmte zyklotomischen Polynome.)
Die Idee ist folgende: primitive fuenfte, zweite und erste Einheitswurzeln sind ja ebenfalls Nullstellen von [mm] $x^{10} [/mm] - 1$. Berechne erstmal davon das Minimalpolynom und teile [mm] $x^{10} [/mm] - 1$ dadurch. (Das sollte glatt aufgehen.) Der Rest ist dann das Minimalpolynom von einer (und somit aller) primitiven zehnten Einheitswurzeln. Wenn du etwas ueber zyklotomische Polynome hattest (oder das hier, vielleicht nicht unter dem Namen), kannst du das so verwenden. Wenn nicht, kannst du es verwenden, musst aber begruenden warum du das darfst ;) Wenn du damit Probleme hast, frag ruhig...
LG Felix
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> Das erste stimmt, aber das zweite soll wohl eher [mm]x^2 - 8 - 2 \sqrt{15}[/mm]
> heissen, oder? Das waer naemlich richtig.
Oops, ja das wäre eigentlich so gemeint gewesen. Danke!
> Bei dieser Aufgabe schon
>
> Und zwar brauchst du dazu etwas Wissen ueber die
> zyklotomischen Polynome. Weisst du etwas darueber?
Nein, dieses Wort "zyklotomisch" höre ich zum ersten Mal. Ich weiss leider nicht was es bedeutet.
> zumindest etwas ueber den Grad der Erweiterung [mm]\IQ(c) / \IQ[/mm]?
> (Hinweis: der hat was mit der Einheitengruppe von
> [mm]$\IZ/10\IZ$[/mm] zu tun, also mit [mm]$\phi(10).)[/mm]
>
> Allgemein ist [mm]c[/mm] ja Nullstelle von [mm]x^{10} - 1[/mm]. Weisst du
> etwas ueber die Faktorisierung dieses Polynoms ueber [mm]\IQ[/mm]?
> (Die Faktoren sind gerade ein paar bestimmte zyklotomischen
> Polynome.)
>
> Die Idee ist folgende: primitive fuenfte, zweite und erste
> Einheitswurzeln sind ja ebenfalls Nullstellen von [mm]x^{10} - 1[/mm].
> Berechne erstmal davon das Minimalpolynom und teile [mm]x^{10} - 1[/mm]
Die Idee, dass 1.,2.,5. Einheitswurzeln auch Nullstellen sind, hab ich verstanden, aber dann:
Also von was genau, muss ich das Minimalpolynom berechnen? Von allen dreien? Und durch was muss ich dann teilen?
> dadurch. (Das sollte glatt aufgehen.) Der Rest ist dann das
> Minimalpolynom von einer (und somit aller) primitiven
> zehnten Einheitswurzeln. Wenn du etwas ueber zyklotomische
> Polynome hattest (oder das hier, vielleicht nicht unter dem
> Namen), kannst du das so verwenden. Wenn nicht, kannst du
> es verwenden, musst aber begruenden warum du das darfst ;)
> Wenn du damit Probleme hast, frag ruhig...
>
> LG Felix
>
danke schon mal für deine tolle antwort, ich war etwas am "schwimmen" bei dieser aufgabe. LG Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mi 02.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> > Bei dieser Aufgabe schon
> >
> > Und zwar brauchst du dazu etwas Wissen ueber die
> > zyklotomischen Polynome. Weisst du etwas darueber?
>
> Nein, dieses Wort "zyklotomisch" höre ich zum ersten Mal.
> Ich weiss leider nicht was es bedeutet.
Manchmal redet man auch von Kreisteilungspolynomen... Hast du das schonmal gehoert? Wenn nicht ist nicht weiter schlimm...
> > zumindest etwas ueber den Grad der Erweiterung [mm]\IQ(c) / \IQ[/mm]?
> > (Hinweis: der hat was mit der Einheitengruppe von
> > [mm]$\IZ/10\IZ$[/mm] zu tun, also mit [mm]$\phi(10).)[/mm]
> >
> > Allgemein ist [mm]c[/mm] ja Nullstelle von [mm]x^{10} - 1[/mm]. Weisst du
> > etwas ueber die Faktorisierung dieses Polynoms ueber [mm]\IQ[/mm]?
> > (Die Faktoren sind gerade ein paar bestimmte zyklotomischen
> > Polynome.)
> >
> > Die Idee ist folgende: primitive fuenfte, zweite und erste
> > Einheitswurzeln sind ja ebenfalls Nullstellen von [mm]x^{10} - 1[/mm].
> > Berechne erstmal davon das Minimalpolynom und teile [mm]x^{10} - 1[/mm]
>
> Die Idee, dass 1.,2.,5. Einheitswurzeln auch Nullstellen
> sind, hab ich verstanden, aber dann:
> Also von was genau, muss ich das Minimalpolynom berechnen?
> Von allen dreien? Und durch was muss ich dann teilen?
Genau, von allen dreien. Von der ersten primitiven Einheitswurzel (1) und der zweiten primitiven Einheitswurzel (-1) ist das einfach  Von der fuenften auch, da sich [mm] $x^5 [/mm] - 1$ ganz einfach faktorisieren laesst (das geht immer so einfach, wenn man [mm] $x^p [/mm] - 1$ faktorisieren will; man erhaelt zwei Faktoren, einer ist $x - 1$, der andere ist irreduzibel ueber [mm] $\IQ$ [/mm] und von einer ganz einfachen Form).
Wenn du diese drei Polynome hast, weisst du das sie teilerfremd sind (da sie keine gemeinsamen Nullstellen in einem algebraischen Abschluss haben). Da sie alle [mm] $x^{10} [/mm] - 1$ teilen (weil sie irreduzibel sind und je eine gemeinsame Nullstelle mit [mm] $x^{10} [/mm] - 1$ haben), teilt also auch ihr Produkt [mm] $x^{10} [/mm] - 1$. Uebrig bleibt ein Polynom von Grad 4, nennen wir es mal $f$. Nun ist $c$ keine Nullstelle von den anderen Minimalpolynomen durch die du geteilt hast, womit $c$ eine Nullstelle von $f$ sein muss. Bleibt nur noch die Frage, ob $c$ irreduzibel ist.
Bei diesem konkreten Polynom kann man das sehr einfach ueberpruefen, indem man das Substitutionskriterium verwendet (oder wie das bei euch heisst), also $g(x) := [mm] f(\lambda [/mm] x + [mm] \mu)$ [/mm] mit [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$ und [mm] $\lambda, \mu \in \IQ$ [/mm] betrachtet und zeigt, dass das irreduzibel ist (hier kann man [mm] $\mu [/mm] = 0$ und [mm] $\lambda$ [/mm] ganz einfach waehlen; dann bekommt man ein Polynom was in dieser Aufgabe schon vorkam und von dem man weiss das es irreduzibel ist :) ).
Ich hoffe mal damit kommst du weiter...
LG Felix
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