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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - minimal/char. Polynom
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minimal/char. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Sa 30.06.2012
Autor: triad

Aufgabe
Sei V ein Vektorraum und $F: [mm] V\to [/mm] V$ ein Endomorphismus. Weiter seien U,W [mm] \subseteq [/mm] V F-invariante Unterräume mit V = U [mm] \oplus [/mm] W. Zeigen Sie folgende Aussagen, wobei wir [mm] $F_U [/mm] := [mm] F|_U$ [/mm] und [mm] $F_W [/mm] := [mm] F|_W$ [/mm] setzen:

a) Das Minimalpolynom [mm] m_F [/mm] ist das kleinste gemeinsame Vielfache von den Minimalpolynomen [mm] m_{F_U} [/mm] und [mm] m_{F_W}. [/mm]

b) Für die charakteristischen Polynome [mm] $\chi_{F}$, $\chi_{F_U}$, $\chi_{F_W}$ [/mm] gilt: [mm] $\chi_{F}$ $=\chi_{F_U}\chi_{F_W}$. [/mm]

Hallo,

ich habe ja [mm] m_{F_U} [/mm] und [mm] m_{F_W} [/mm] gegeben sowie ihr [mm] \operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})=:m [/mm] und soll zeigen, dass [mm] m_F=m. [/mm] Dann gibt es doch Polynome p,q mit [mm] m=p*m_{F_U} [/mm] und [mm] m=q*m_{F_W}. [/mm] Kann ich die Minimalpolynome irgendwie allgemein ausrechnen? Ich kann das ja auch in Matrizenschreibweise auffassen: [mm] F=A\cdot{}, [/mm]

[mm] A=\pmat{ B & 0 \\ 0 & C } [/mm]

mit B,C quadratische Blockmatrizen und damit weiterrechnen, oder? [mm] F_U [/mm] bzw. [mm] F_W [/mm] wäre dann [mm] B\cdot [/mm] bzw. [mm] C\cdot [/mm] und die char. Polynome [mm] \chi_B(X)=det(B-X*E_n), \chi_C(X)=det(C-X*E_n). [/mm] Mit $det(A)=det(B)*det(C)$ und der Bezeichnung [mm] E_A [/mm] für die Einheitsmatrix mit [mm] Rang(E_A)=Rang(A) [/mm] gilt

[mm] E_{A}=\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\ 0 & E_{C}\end{pmatrix} [/mm]

und für das char. Polynom von A

[mm] \chi_A(X)=det(A-X*E_A)=det\left(\pmat{ B & 0 \\ 0 & C }-X*\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\ 0 & E_{C}\end{pmatrix}\right)=det\left(\pmat{ B-X*E_B & 0 \\ 0 & C-X*E_C }\right)=det(B-X*E_B)*det(C-X*E_C)=\chi_B(X)*\chi_C(X). [/mm]

        
Bezug
minimal/char. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 So 01.07.2012
Autor: SEcki


> ich habe ja [mm]m_{F_U}[/mm] und [mm]m_{F_W}[/mm] gegeben sowie ihr
> [mm]\operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})=:m[/mm] und soll zeigen,
> dass [mm]m_F=m.[/mm] Dann gibt es doch Polynome p,q mit [mm]m=p*m_{F_U}[/mm]
> und [mm]m=q*m_{F_W}.[/mm] Kann ich die Minimalpolynome irgendwie
> allgemein ausrechnen?

Wie meinst du das? Das Minimalpolynom ist durch bestimmte Eigenschaften festgenagelt.

> Ich kann das ja auch in
> Matrizenschreibweise auffassen: [mm]F=A\cdot{},[/mm]
>  
> [mm]A=\pmat{ B & 0 \\ 0 & C }[/mm]
>  
> mit B,C quadratische Blockmatrizen und damit weiterrechnen,
> oder?

Es hilft sehr um fuer das kgV zu argumentieren. Was heisst es denn Minimalpolynom zu sein? Wie sehen denn Potenzen von A mit den Blockmatrizen aus?

SEcki


Bezug
                
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minimal/char. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 So 01.07.2012
Autor: triad


> Es hilft sehr um fuer das kgV zu argumentieren. Was heisst
> es denn Minimalpolynom zu sein? Wie sehen denn Potenzen von
> A mit den Blockmatrizen aus?
>  
> SEcki
>  


Naja, es gibt genau ein normiertes Polynom [mm] m_F(X) [/mm] kleinsten Grades mit [mm] m_F(F)=0, [/mm] das ist das Minimalpolynom von F. Außerdem teilt [mm] m_F [/mm] das char. Polynom [mm] \chi_F. [/mm] Als Bsp. sei [mm] A=E_2 [/mm] und [mm] \chi_F(X)=(X-1)^2, [/mm] dann ist [mm] m_F(X) [/mm] entweder $(X-1)$ oder [mm] (X-1)^2. $m_F(X)=(X-1)$, [/mm] da [mm] m_F(A)=(X-1)(A)=A-E_2=0. [/mm]
Die Potenzen von A sehen doch so aus: [mm] A^k=\pmat{B^k & 0\\0&C^k}. [/mm]

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minimal/char. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 So 01.07.2012
Autor: SEcki


>  Die Potenzen von A sehen doch so aus: [mm]A^k=\pmat{B^k & 0\\ 0&C^k}.[/mm]

Teilt das kgV denn das Minimalpolynom? Kann man das relativ schnell sehen? Oder kann man sehen, dass das Minimalpolynom das kgV teilt? Kannst du zeigen, dass deine beiden "kleineren" Minimaploynome das "grosse" teilen? Kann man das "grosse" auf den Unterraum einschraenken - was ergibt sich fuer Teilbarkeitsbeziehungen?

SEcki


Bezug
                                
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minimal/char. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mo 02.07.2012
Autor: triad


> >  Die Potenzen von A sehen doch so aus: [mm]A^k=\pmat{B^k & 0\\ 0&C^k}.[/mm]

>
> Teilt das kgV denn das Minimalpolynom? Kann man das relativ
> schnell sehen? Oder kann man sehen, dass das Minimalpolynom
> das kgV teilt?

Wenn ich schon wüsste, dass das Minimalpolynom das [mm] \operatorname{kgV} [/mm] ist, dann wäre klar das sie sich teilen, weil jedes etwas teilt sich selbst, aber so sehe ich das noch nicht. Wie hilft mir die Potenzierung von A dabei?

> Kannst du zeigen, dass deine beiden
> "kleineren" Minimaploynome das "grosse" teilen? Kann man
> das "grosse" auf den Unterraum einschraenken - was ergibt
> sich fuer Teilbarkeitsbeziehungen?
>  
> SEcki
>  

Ich schrieb ja oben schon, dass wenn [mm] $m:=\operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})$, [/mm] dann gibt es Polynome p,q mit [mm] $m=p\cdot{}m_{F_U}$ [/mm] und [mm] $m=q\cdot{}m_{F_W},$ [/mm] also teilen die beiden kleinen Minimalpolynome doch schonmal das m?
Die Einschränkungen auf die Unterräume wurden ja bereits gemacht [mm] $m_{F_U}$ [/mm] und [mm] $m_{F_W}.$ [/mm]



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minimal/char. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mo 02.07.2012
Autor: SEcki


> > Teilt das kgV denn das Minimalpolynom? Kann man das relativ
> > schnell sehen? Oder kann man sehen, dass das Minimalpolynom
> > das kgV teilt?
>
> Wenn ich schon wüsste, dass das Minimalpolynom das
> [mm]\operatorname{kgV}[/mm] ist, dann wäre klar das sie sich
> teilen, weil jedes etwas teilt sich selbst, aber so sehe
> ich das noch nicht. Wie hilft mir die Potenzierung von A
> dabei?

Sei [m]m_f[/m] das Minimalpolynom von (ganz!) f. Was kann man denn dann ueber [m]m_f(F_W)[/m] respektive [m]m_f(F_U)[/m] sagen? (Und da hilft die Potenzierung um es sich zu veranschaulichen.) Was folgt fuer die Teilbarkeit?

Andersrum: was ist denn [m]\operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})(F)[/m]?

> Ich schrieb ja oben schon, dass wenn
> [mm]m:=\operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})[/mm], dann gibt es
> Polynome p,q mit [mm]m=p\cdot{}m_{F_U}[/mm] und [mm]m=q\cdot{}m_{F_W},[/mm]
> also teilen die beiden kleinen Minimalpolynome doch
> schonmal das m?

Das meinte ich offensichtlich nicht.

SEcki

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minimal/char. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mo 02.07.2012
Autor: triad


> Sei [m]m_f[/m] das Minimalpolynom von (ganz!) f. Was kann man denn
> dann ueber [m]m_f(F_W)[/m] respektive [m]m_f(F_U)[/m] sagen? (Und da
> hilft die Potenzierung um es sich zu veranschaulichen.) Was
> folgt fuer die Teilbarkeit?
>  
> Andersrum: was ist denn
> [m]\operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})(F)[/m]?

Ok, das Minimalpolynom von F kenne ich nicht, sei es also z.B. irgendein Polynom [mm] m_F(x)=x^2+x+4, [/mm] dann ist [mm] m_F(B)=B^2+B+4E. [/mm] Für das [mm] \operatorname{kgV} [/mm] m gilt [mm] m(A)=m\pmat{B&0\\0&C}=\pmat{m(B)&0\\0&m(C)} [/mm] (einsetzen und ausrechnen). Ich kann da noch keine Teilbarkeitsbeziehungen erkennen ...

> > Ich schrieb ja oben schon, dass wenn
> > [mm]m:=\operatorname{kgV}(m_{F_U},m_{F_W})[/mm], dann gibt es
> > Polynome p,q mit [mm]m=p\cdot{}m_{F_U}[/mm] und [mm]m=q\cdot{}m_{F_W},[/mm]
> > also teilen die beiden kleinen Minimalpolynome doch
> > schonmal das m?
>  
> Das meinte ich offensichtlich nicht.
>  
> SEcki


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minimal/char. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Mo 02.07.2012
Autor: SEcki


> Ich kann da noch keine Teilbarkeitsbeziehungen
> erkennen ...

Wie sind denn kgV und Minimalpolynom definiert? Kannst du eine Definition angeben, die mit Teilbarkeit arbeitet?

zB für das kgV: ein Polynom u ist das kgV von 2 Polynomen p und q <=> Es gilt: r Polynom, dann [m]p,q|r[/m] <=> [m]u|r[/m].

Jetzt mal äquivalent für das Minimapolynom.

Weiterer Hinweis: [m]m_{F_W}|m_F[/m] (warum?).

SEcki


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