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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:15 So 12.11.2006 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | Es sei V ein reeller Vektorraum mit Metrik d: V x V [mm] \rightarrow \IR. [/mm] Genau dann gibt es eine Norm [mm] \parallel [/mm] ... [mm] \parallel: [/mm] V [mm] \rightarrow \IR [/mm] mit d(x,y) = [mm] \parrallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] V, wenn für alle [mm] \lambda \in \IR, [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] V gilt
d(x,y)=d(x+z,y+z), d( [mm] \lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y)= | [mm] \lambda [/mm] |d(x,y) |
kann ich einfach die norm für [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] = 0 wählen, wenn x-y=0 oder x=y gilt. und es dann nachrechnen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 12.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin blinktea!
Ich glaube nicht das das so geht, wie du dir das vorstellst. Du mußt zwei Richtungen zeigen:
1.) [mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
$d(x,y)=|| x-y||$ ist eine Norm dann gelten folgende Eigenschaften:
$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ [mm] $d(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda y)=|\lambda [/mm] |d(x,y)$
Denke das ist durch einfaches Nachrechnen zu erreichen.
2.) [mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei $d$ eine Metrik mit folgenden Eigenschaften:
$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ [mm] $d(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda y)=|\lambda [/mm] |d(x,y)$
dann ist $d(x,y)=||x-y||$ und die Normeigenschaften gelten.
MfG
Sashman
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 12.11.2006 | | Autor: | blinktea |
also könnte ich bei 1. folgendes zeigen, dass
d(x,y)=d(x+z,y+z)
daraus folgt, dass d(x+z,y+z)= d(x,y)+d(z,z)= d(x,y)+0=d(x,y) ?? und
[mm] d(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y) = [mm] |\lambda| [/mm] d(x,y)
daraus folgt, [mm] |\lambda| [/mm] d(x,y) = ?
2.
sind die normeigenschaften:
[mm] 1.\parallel x\parallel [/mm] =0, wenn x=0
2. [mm] \parallel \lambda [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] |\lambda| \parallel [/mm] x [mm] \parallel
[/mm]
3. [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] <= [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 12.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin nochmals!
> also könnte ich bei 1. folgendes zeigen, dass
>
> d(x,y)=d(x+z,y+z)
> daraus folgt, dass d(x+z,y+z)= d(x,y)+d(z,z)=
> d(x,y)+0=d(x,y) ?? und
> [mm]d(\lambda[/mm] x, [mm]\lambda[/mm] y) = [mm]|\lambda|[/mm] d(x,y)
> daraus folgt, [mm]|\lambda|[/mm] d(x,y) = ?
>
nee so hatte ich das nicht gemeint
Sei V ein VR und d eine Metrik [mm] $V\times V\to \IR$ [/mm] und $||*||$ eine Norm und es gilt $d(x,y)=||x-y||$ dann ist:
$d(x+z,y+z)=||(x+z)-(y+z)||=||x-y||=d(x,y)$
bei der zweiten Eigenschaft dann genauso
wenn du Eigenschaften der Norm benutzt dann angeben welche du ausnuzt.
> 2.
> sind die normeigenschaften:
>
> [mm]1.\parallel x\parallel[/mm] =0, wenn x=0
> 2. [mm]\parallel \lambda[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]|\lambda| \parallel[/mm] x
> [mm]\parallel[/mm]
> 3. [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] <= [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
> ???
>
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MfG
Sashman
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