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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Phecda |
Hallo, im Rudin steht
(i)
Ein Punkt (Element) p heißt innerer Punkt von E, wenn es eine Umgebung U von p gibt sodass U [mm] \subset [/mm] E gilt.
(ii)
E heißt offen, wenn jeder Punkt von E ein innerer Punkt von E ist
Dies beiden Def. machen für mich iwie kein sinn... sry kann mir jmd das erklären
Ein Punkt von E ist doch logischerweise ein Element von E, also ist doch jeder Punkt ein innerer Punkt? und deshalb ist doch jeder metrische Raum auch offen? oder was soll die def. bringen. oder hat es mit dem Rand des Intervalls des Raums zu tun
für eine verständliche Erklärung wäre ich sehr dankbar ;)
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Sa 29.12.2007 | | Autor: | zahllos |
Betrachte z.B. für E das abgeschlossene Intervall [0 ; 1 ] in R. Dann liegen in jeder Umgebung des Punktes 0 ( also in jedem offenen rellen Intervall um 0 ) sowohl Punkte aus E (nämlich reelle Zahlen aus ] 0 ; 1 [ , als auch Punkte, die nicht zu E gehören (nämlich negative reelle Zahlen). Also ist E als Teilmenge der reellen Zahlen nicht offen.
Entscheidend ist nicht, dass der Punkt selbst zu E gehört, sondern dass sogar eine offene Umgebung des Punktes zu E gehört.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Phecda |
noch eine frage die gut dazupasst
wenn eine menge kein häufungspunkt hat, ist sie trotzdem abgeschlossen
def. E heißt abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von E in E liegt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 So 30.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
du hast recht Phecda.
Eine Menge, die keinen Häufungspunkt besitzt, ist abgeschlossen.
Das kann man eventuell so einsehen:
Sei [mm] M\m [/mm] eine Menge, die in einer noch größren Menge [mm] X\m [/mm] enthalten ist. (so etwas muss man immer beachten, denn Offenheit und Abgeschlossenheit einer Menge ist immer abgängig von der Obermenge, in der sie enthalten ist)
Die Menge aller Häufungspunkte von [mm] M\m [/mm] nennen wir mal [mm] H\m. [/mm]
Dann heißt [mm] M\m [/mm] abgeschlossen, falls jeder Häufungspunkt von [mm] M\m, [/mm] in [mm] M\m [/mm] selber enthalten ist, also
[mm] \forall x\m \in H\m: x\m \in M\m. [/mm]
Das ist einfach die Definition.
Falls nun [mm] M\m [/mm] nicht abgeschlossen ist, müsste es ein [mm] x\m \in H\m [/mm] geben, welches nicht in [mm] M\m [/mm] liegt, d.h.
[mm] \exists x\m \in H\m [/mm] : [mm] x\m \notin H\m
[/mm]
Falls nun [mm] M\m [/mm] gar keine Häufungspunkte besitzt, kann auch keiner ausserhalb von [mm] M\m [/mm] liegen.
Also gibt es kein Element, welches der Abgeschlossenehit im Wege stehen würde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 So 30.12.2007 | | Autor: | Phecda |
hi okay das klingt gut :) danke
eine frage hätte ich da noch... ist folgende argumentation richtig?
die menge der ganzen zahlen ist offen!
jeder punkt ist von zwei rationalen zahlen umgeben. also ist jeder punkt kein innerer punkt --> [mm] \IZ [/mm] ist nicht offen
ist die Menge der rationalen Zahlen offen?
ich würd auch sagen nein, weil es Q dicht bei R ist und somit jedes Element von Q auch von zwei irrationale zahlen umgeben ist?
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> eine frage hätte ich da noch... ist folgende argumentation
> richtig?
> die menge der ganzen zahlen ist offen!
Hallo,
diese Frage ist so nicht zu beantworten.
Jede Frage nach offen oder nicht offen ist sinnlos ohne Angabe des zugrundeliegenden metrischen Raumes.
Hierauf hat Dich im vorhergehenden Post jorgi hingewiesen, und ich wiederhole das, weil es sehr wichtig ist:
> > Sei $ [mm] M\m [/mm] $ eine Menge, die in einer noch größren Menge $ [mm] X\m [/mm] $ enthalten ist.
> > (so etwas muss man immer beachten, denn Offenheit und Abgeschlossenheit einer Menge
> > ist immer abgängig von der Obermenge, in der sie enthalten ist)
Du mußt Dich also entscheiden, ob Du [mm] \IZ [/mm] als Teilmenge von sich selbst betrachtest, oder als Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IR.
[/mm]
>
> jeder punkt ist von zwei rationalen zahlen umgeben. also
> ist jeder punkt kein innerer punkt --> [mm]\IZ[/mm] ist nicht offen
Wenn Du [mm] \IZ [/mm] als Teilmenge v. des metrischen Raumes [mm] \IQ [/mm] (mit der Betragsnorm) betrachtest, ist das richtig.
> ist die Menge der rationalen Zahlen offen?
Auch diese Frage ist sinnlos, solange Du nicht angibst, in welchem metrischen Raum Du Dich gerade bewegst.
> ich würd auch sagen nein, weil es Q dicht bei R ist und
> somit jedes Element von Q auch von zwei irrationale zahlen
> umgeben ist?
Falls Du [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] betrachtest, ist das richtig, für [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IQ [/mm] stimmt das nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 So 30.12.2007 | | Autor: | Phecda |
ok danke euch .. ich werd das ganze beherzigen ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 30.12.2007 | | Autor: | Phecda |
hi ich glaub ich mir kommen noch 100 fragen
sei X ein metrischer Raum bsp. euklidscher Raum
kann dann eine abgeschlossene Menge M [mm] \subset [/mm] X, die beschränkt ist auch offen sein?
das hieße doch, dass die Randpunkte von M zu M gehören, also sind diese keine inneren Punkte --> M nicht offen.
schließt sich also abgeschlossen und offen bei beschränkten Mengen aus?
bzw. ist eine kompakte (abgeschlossene & beschränkte) Menge stets nicht offen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 30.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
die Frage, ob Mengen gleichzeitig offen und abgeschlossen sein können, oder ob sich diese zwei Eigenschaften gegenseitig ausschließen, ist eng verbunden mit dem topologischen Konzept des Zusammenhangs.
Ich fall' ma mit der Tür in's Haus.
In einem zusammenhängenden metrischen Raum [mm] X\m, [/mm] ist die einzige nichtleere Teilmenge, die gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, [mm] X\m [/mm] selber.
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