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metrische Funktionenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Di 15.04.2014
Autor: RussellFrege

Aufgabe
Sei F die Menge aller stetigen Funktionen [mm] [0,1]->\IR. [/mm]
Gegeben seien die zwei Metriken [mm] d_\infty(f,g)=sup|f(x)-g(x)| [/mm]
[mm] d_2(f,g)=\wurzel{\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^{2} dx}} [/mm]
Welche der folgenden abbildungen sind stetig?:
a) id: [mm] (F,d_\infty)\to(F,d_2) [/mm]
b)id: [mm] (F,d_2)\to(F,d_\infty) [/mm]
[mm] c)ev_0: (F,d_\infty)\to \IR, [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f(0)
[mm] d)ev_0: (F,d_2)\to \IR, [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f(0)

Bei a) muss man im wesentlichen zeigen, dass eine (Epsilon-)Umgebung bzwl. [mm] d_2 [/mm] auch eine Umgebung bzgl. [mm] d_\infty [/mm] ist, aber das kriege ich nicht hin.
Bei b) muss das umgekehrt, da habe ich:
[mm] \integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^{2} dx} \le \integral_{0}^{1}{sup|f(x)-g(x)|^{2} dx} \le sup|f(x)-g(x)|^{2} [/mm] < [mm] \epsilon^{2}, [/mm] und daraus folgt die Behauptung.
Zu den anderen beiden hab ich nicht wirklich eine Idee.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
metrische Funktionenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Di 15.04.2014
Autor: SEcki


> Bei b) muss das umgekehrt, da habe ich:
> [mm]\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^{2} dx} \le \integral_{0}^{1}{sup|f(x)-g(x)|^{2} dx} \le sup|f(x)-g(x)|^{2}[/mm]
> < [mm]\epsilon^{2},[/mm] und daraus folgt die Behauptung.

Das wäre eher die a)

> Zu den anderen beiden hab ich nicht wirklich eine Idee.

Ich habe einen Anstoß: Betrachte doch das Konvergenzkriterium, dh die Funktion [m]g[/m] ist stetig wenn aus [m]f_n\to f[/m] dann [m]g(f_n)\to g(f)[/m] folgt. Und dann noch: gibt es Folgen, die nicht überall punktweise konverieren?

SEcki

Bezug
                
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metrische Funktionenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Di 15.04.2014
Autor: RussellFrege

Warum wäre das eher die a? Ich will doch zeigen, dass das Urbild einer [mm] d_2-Umgebung [/mm] eine [mm] d_\infty-Umgebung [/mm] ist.
Unabhängig davon habe ich aber auch keine Ahnung, wie ich die andere Richtung zeigen soll. An c und d versuch ich mich jetzt nochmal.

Bezug
                        
Bezug
metrische Funktionenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Mi 16.04.2014
Autor: fred97


> Warum wäre das eher die a?

Es gilt : [mm] d_2(f,g) \le d_{\infty}(f,g) [/mm] für alle f,g [mm] \in [/mm] F

Dann haben wir für eine Folge [mm] (f_n) [/mm] in F und ein f [mm] \in [/mm] F:

     aus  [mm] d_{\infty}(f_n,f) \to [/mm] 0  folgt  [mm] d_{2}(f_n,f) \to [/mm] 0.

Das ist die Stetigkeit von $id:  [mm] (F,d_\infty)\to(F,d_2) [/mm] $.


>  Ich will doch zeigen, dass das
> Urbild einer [mm]d_2-Umgebung[/mm] eine [mm]d_\infty-Umgebung[/mm] ist.
>  Unabhängig davon habe ich aber auch keine Ahnung, wie ich
> die andere Richtung zeigen soll

Zu b:

Die Abb. $id:  [mm] (F,d_2)\to(F,d_\infty) [/mm] $ ist nicht stetig ! Bezeichnen wir mit [mm] 0_F [/mm] das Nullelement im Vektorraum F.

Bastle Dir eine Folge [mm] (f_n) [/mm] aus F mit:

    [mm] (d_2(f_n,0_F)) [/mm] ist eine Nullfolge, aber [mm] (d_{\infty}(f_n,0_F)) [/mm] ist keine Nullfolge.

Damit ist  $id:  [mm] (F,d_2)\to(F,d_\infty) [/mm] $ in [mm] 0_F [/mm] nicht stetig. Da  $id:  [mm] (F,d_2)\to(F,d_\infty) [/mm] $ linear ist, ist dann $id:  [mm] (F,d_2)\to(F,d_\infty) [/mm] $ in keinem(!) f [mm] \in [/mm] F stetig !.

Tipp: Konvergenz bezüglich [mm] d_{\infty} [/mm] ist gerade die gleichmäßige Konvergenz auf [0,1].





. An c und d versuch ich

> mich jetzt nochmal.

Zu c): es ist

   [mm] |ev_0(f)-ev_0(g)| \le d_{\infty}(f,g) [/mm]  für alle f,g [mm] \in [/mm] F.

Wie bei a) liefert das die Stetigkeit von $ [mm] ev_0: (F,d_\infty)\to \IR [/mm] $.

Zu d): [mm] $ev_0: (F,d_2)\to \IR [/mm] $ ist nicht stetig !

Dazu bastle Dir eine Folge [mm] (f_n) [/mm] aus F mit

   [mm] (d_2(f_n,0_F)) [/mm] ist eine Nullfolge, aber [mm] (f_n(0)) [/mm] ist keine Nullfolge.

FRED


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metrische Funktionenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Mi 16.04.2014
Autor: RussellFrege

Vielen Dank!
Habe das Blatt vorhin abgegeben, als Funktion habe ich bei b) und d)
[mm] \wurzel{1-(2-1/n)*x} [/mm]
genommen.

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metrische Funktionenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:32 Do 17.04.2014
Autor: fred97


> Vielen Dank!
>  Habe das Blatt vorhin abgegeben, als Funktion habe ich bei
> b) und d)
>  [mm]\wurzel{1-(2-1/n)*x}[/mm]
>  genommen.

Das war aber ein gewaltiger Griff ins Klo ! Keine der obigen Funktionen ist auf ganz [0,1] definiert !

FRED


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metrische Funktionenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 Di 22.04.2014
Autor: RussellFrege

Oha, ja klar, hätte ich ohne die Wurzel machen müssen... aber zum Glück hat auch der Korrektor das nicht bemerkt ;)

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