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mehrfachintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Sa 25.06.2011
Autor: Lentio

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \integral_{T} \integral \integral (x^2+y^2)dxdydz [/mm] über [mm] T=\{(x,y,z)\in R^3|x^2+y^2\le4, 0\le z \le 2, 0\le x, 0\le y\} [/mm]

Hallo!

Könnte jemand mir sagen, ob die Lösung so okay ist?

[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} x^2+y^2 [/mm] dxdydz=

[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} \vmat{ \bruch{1}{3}x^3+y^2x}_{0}^{2} [/mm] dydz=
[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2}( \bruch{8}{3}+2y^2)dydz= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2} \vmat{ \bruch{8}{3}y+\bruch{2}{3}y^3}_{0}^{2} [/mm] dz
= [mm] \integral_{0}^{2} \bruch{32}{3} [/mm] dz = [mm] \vmat{ \bruch{32}{3}z}_{0}^{2} =\bruch{64}{3} [/mm] ?

Danke.

mfg,
Lentio

        
Bezug
mehrfachintegral: Kann nicht sein
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Sa 25.06.2011
Autor: Infinit

Hallo Lentio,
die Grenzen können nicht stimmen, denn Deine erste Randbedingung beschreibt doch das Innere eines Kreises um den Ursprung mit einem Radius von 2 und ein Kreis hat nun mal keine feste x- oder y-Begrenzung.
Male Dir mal das Integrationsgebiet auf, dann siehst Du dies recht deutlich.
Tipp: Integriere über z als letztes und was bleibt mit den Randbedingungen für x und y vom dem ursprünglichen Kreis übrig?

Viele Grüße,
Infinit


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mehrfachintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 25.06.2011
Autor: Lentio

Hallo und danke für die Antwort.

Also so: [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le \wurzel{4-y^2}, 0\le [/mm] y [mm] \le \wurzel{4-x^2}, 0\le z\le2 [/mm] für die Grenzen?

mfg,
Lentio

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mehrfachintegral: Fast okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Sa 25.06.2011
Autor: Infinit

Hallo Lentio,
fast richtig, aber nicht komplett. Eine der Größen, x oder y, ist konstant und diese Größe taucht als Grenzparameter beim zweiten Integral auf. Arbeiten wir mal mit der x-Variablen als Konstante, so taucht diese in der Besttimmung der y-Grenzen auf, damit läuft x zwischen 0 und 2 und y zwischen y und [mm] \wurzel{4-x^2} [/mm]. Das ergibt genau den beschriebenen Viertelkreis als Integrationsgebiet. Natürlich musst Du dann (von innen nach außen) zuerst über y, integrieren, (hier kommt als obere Grenze das x mit rein, dann über x und abschließend über z.
Viele Grüße,
Infinit


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mehrfachintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:21 Sa 25.06.2011
Autor: Lentio

Danke für die Hilfe.
Es ha endlich "klick" gemacht!

mfg,
llentio

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mehrfachintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Sa 25.06.2011
Autor: fred97

Tipp: Zylinderkoordinaten

FRED

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