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measures II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 So 23.11.2003
Autor: berger

mehr davon:

zu zeigen ist, das die menge der rationalen zahlen nicht als schnittmenge von abzaehlbar vielen offenen mengen ausgedrueckt werden kann.

gruss

        
Bezug
measures II: (ergänzt)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 23.11.2003
Autor: Stefan

Hallo,

hier der Beweis:

Wäre

[mm]\IQ = \bigcap_{i=1}^n O_n[/mm]

mit in [mm]\IR[/mm] offenen Mengen [mm]O_n \supset \IQ[/mm] ([mm]n \in \IN)[/mm], so wäre

[mm]\IR = \bigcup_{j=1}^n \{q_n\} \cup \bigcup_{i=1}^n (\IR \setminus O_n)[/mm],

wobei [mm](q_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Abzählung von [mm]\IQ[/mm] ist.

Da [mm]\IR \setminus O_n[/mm] für alle [mm]n[/mm] abgeschlossen ist und keine inneren Punkte besitzt (wähle einen Punkt aus [mm]\IR \setminus O_n[/mm], dann kann es keine Kugel um diesen Punkt geben, die ganz in [mm]\IR \setminus O_n \subset \IR \setminus \IQ[/mm] liegt,  denn jede solche Kugel muss auch rationale Punkte enthalten), ist [mm] \IR \setminus O_n[/mm] nirgends dicht.

Somit wäre [mm]\IR[/mm] eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen, also eine Menge 1. Kategorie in sich selbst.

Dies ist ein Widerspruch zum Satz von Baire (Bairescher Kategoriensatz), nachdem ein vollständiger metrischer Raum eine Menge von 2. Kategorie in sich selbst ist.

Alles Gute
Stefan


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