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measures: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 So 23.11.2003
Autor: berger

mit folgendem problem sind wir (kurs masstheorie) beschaeftigt:
die menge A ist (lebesgue) messbar und hat ein mass groesser null. zu zeigen ist, das es zwei punkte in A gibt, deren abstand eine rationale zahl ist.

Gruss

        
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measures: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Di 25.11.2003
Autor: Stefan

Hallo,

dies folgt aus dem Satz von H. Steinhaus (1920):

Ist [mm]A[/mm] Lebesgue-messbar und das Lebesgue-Maß von [mm]A[/mm] größer als null, so ist

[mm]A-A = \{x-y\, :\, x,y\in A\}[/mm]

eine Umgebung von [mm]0[/mm].


Dies bedeutet: Es gibt eine Kugel um 0, in der natürlich auch rationale Zahlen liegen, so dass diese Kugel ganz in [mm]A-A[/mm] liegt.

Damit wäre die Behauptung gezeigt.

Die Frage, die sich jetzt noch stellt: Kennst du den Satz von Steinhaus oder musst du den beweisen?

Falls du ihn beweisen musst, dann melde dich nochmal, dann schreibe ich dir den Beweis hier ins Forum.

Alles Gute
Stefan


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measures: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Di 25.11.2003
Autor: berger

Moin Stefan,
ich glaube, da liegt der Hund begraben. diesen satz kenne ich in der tat nicht, waere klasse, wenn du den kurz zeigen koenntest.
gruss
stefan

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measures: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Di 25.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan,

du bist  also wirklich derjenige, den ich schon vermutet hatte. Alles Gute in Barcelona! Was macht die VWL-Promotion?

Also:

Beweis des Satzes von Steinhaus:

Es sei [mm]A \subset \mathbb{R}^d[/mm] Lebesgue-messbar und [mm]\lambda(A)>0[/mm].

Wegen

[mm]\lambda(A)=\sup\{\lambda(K)\, :\, K \subset A, K \ \mbox{kompakt}\}[/mm]

genügt es den Beweis für ein kompaktes [mm]A \subset \mathbb{R}^d[/mm] mit [mm]\lambda(A)>0[/mm] zu führen.Wegen

[mm]\lambda(A)=\inf\{\lambda(U)\, :\, U \supset A, U \ \mbox{offen}\}[/mm]

gibt es ein offenes [mm]U \supset A[/mm] mit

[mm]\lambda(U) < 2 \lambda(A).[/mm]

Das nichtleere Kompaktum [mm]A[/mm] hat von der nichtleeren abgeschlossenen Menge [mm]U^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm] mit [mm]A \cap U^{\mbox{\scriptsize c}}= \emptyset[/mm] einen positiven Abstand

[mm]\delta:=\inf\{\Vert x-y\Vert \, :\, x \in A, y \in U^{\mbox{\scriptsize c}}\}>0[/mm].

Für dieses [mm]\delta>0[/mm] gilt:

[mm]B_{\delta}(0) \subset A-A[/mm].

Denn: Es sei [mm]t \in \IR^d[/mm], [mm]\Vert t \Vert < \delta[/mm]. Für jedes [mm]x \in A[/mm] ist dann [mm]x+t \in U[/mm], denn wäre [mm]y:=x+t \in U^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm], so wären

[mm]x \in A,\, y \in U^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm]

zwei Punkte mit

[mm]\Vert x -y\Vert= \Vert t \Vert < \delta[/mm],

im Widerspruch zur Definition von [mm]\delta[/mm]. Daher gilt:

[mm] A \cup (A+t) \subset U[/mm].

Weiter ist [mm]A+t[/mm] kompakt (da [mm]A[/mm] kompakt ist), und auf Grund der Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes gilt:

[mm]\lambda(A+t) = \lambda(A)[/mm].

Angenommen, es wäre

[mm]A \cap (A + t) = \emptyset[/mm].

Dann erhielten wir:

[mm]\lambda(U) \ge \lambda( A \cup (A+t)) = \lambda(A) + \lambda(A+t) = 2\lambda(A)[/mm]

im Widerspruch zur Wahl von [mm]U[/mm]. Es folgt:

Für jedes [mm]t \in B_{\delta}(0)[/mm] ist

(*) [mm]A \cap (A+t) \ne \emptyset[/mm].

Daher ist wie behauptet:

[mm]B_{\delta}(0) \subset A-A[/mm],

denn für [mm]t \in B_{\delta}(0)[/mm] gibt es nach (*) [mm]x,y \in A[/mm] mit

[mm]x = y+t[/mm], also mit: [mm]t = x-y[/mm].

Noch Fragen? ;-)

Alles Gute
Stefan


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measures: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mi 26.11.2003
Autor: berger

genau, der bin ich. promotion hier unten läuft ganz gut. muss allerdings eben noch einen kurs in maßtheorie belegen, der ist hier zulassungsvoraussetzung (keine ahnung, wieso, mit maßtheoretischen sachen werdeich mich bei meiner vwl-promotion voraussichtlich nicht so viel beschäftigen, aber immerhin ist das mal eine ganz amüsante abwechslung, macht sogar manchmal spass, wenn ich dann mal auf einen beweis komme.

eine sache nur noch zum steinhaus-satz: wir haben das lebesgue-maß einer menge eingeführt als infinum der längen von abzählbaren, offenen intervallen, die die menge covern. deine erste aussage ist dazu äquivalent?

gruss
stefan

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measures: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Mi 26.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan,

> genau, der bin ich. promotion hier unten läuft ganz gut.

Das freut mich!!

> muss
> allerdings eben noch einen kurs in maßtheorie belegen, der ist
> hier zulassungsvoraussetzung (keine ahnung, wieso, mit
> maßtheoretischen sachen werdeich mich bei meiner vwl-promotion
> voraussichtlich nicht so viel beschäftigen, aber immerhin ist
> das mal eine ganz amüsante abwechslung, macht sogar manchmal
> spass, wenn ich dann mal auf einen beweis komme.

Das kann ich mir vorstellen. Ist ja auch gut, dass ihr mal ein bisschen Mathe macht, finde ich. :-)

> eine sache nur noch zum steinhaus-satz: wir haben das
> lebesgue-maß einer menge eingeführt als infinum der längen von
> abzählbaren, offenen intervallen, die die menge covern. deine
> erste aussage ist dazu äquivalent?

Aha. Das hört sich so an, als hättet ihr nur im Eindimensionalen gearbietet. Dann ist natürlich mein "d" immer wegzulassen und die Normen durch Beträge zu ersetzen. Ansonsten bedeutet

[mm]\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) \, :\, U \supset A\}[/mm]

gerade eure Definition. Dass die Menge auch abzählbar gewählt werden kann, ist klar, da der [mm]\IR[/mm] (oder allgemeiner der [mm]\IR^d[/mm]) eine abzählbare Basis der Topologie besitzt. Also: Ja, es ist äquivalent.

Die innere Ausschöpfbarkeit durch Kompakta müsstest du aber noch zeigen, oder hattet ihr das als Satz?

Alles Gute
Stefan


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measures: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mi 26.11.2003
Autor: berger

nein, das hatten wir nicht als satz. wie kann ich das zeigen (also die äquivalenz zwischen deiner ersten und zweiten aussage?)
gruss
stefan

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measures: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 26.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan,

also:

Vorausgesetzt sei:

(*) [mm]\lambda(A) = \inf\{\lambda(U)\, :\, U \supset A, \, U \, \mbox{offen}\}[/mm].

Zunächst zeige ich, dass daraus

[mm]\lambda(A) = \sup\{\lambda(F)\, :\, F \subset A, \, F \, \mbox{abgeschlossen}\}[/mm]

folgt. Nach (*) (für [mm]A^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm] anstatt für [mm]A[/mm]) gibt es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] eine offene Menge [mm]V \supset A^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm] mit

[mm]\lambda(V \setminus A^{\mbox{\scriptsize c}}) = \lambda(V) - \lambda(A^{\mbox{\scriptsize c}}) < \varepsilon[/mm].

Daher ist [mm]F = V^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm] eine abgeschlossene Teilmenge von [mm]A[/mm] mit

[mm]\lambda(A) - \lambda(F) = \lambda(A\setminus F) = \lambda(A \cap V) = \lambda(V \setminus A^{\mbox{\scriptsize c}}) < \varepsilon[/mm],

d.h. es gilt (da [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig gewählt war) in der Tat:

(**) [mm]\lambda(A) = \sup\{\lambda(F)\, :\, F \subset A, \, F \, \mbox{abgeschlossen}\}[/mm]

Nun zeige ich, dass aus (**) folgt:

[mm]\lambda(A) = \sup\{\lambda(K)\, :\, K \subset A,\, K \, \mbox{kompakt}\}[/mm]

Es sei wieder [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig gewählt. Nach (**) gibt es eine abgeschlossene Menge [mm]F \subset A[/mm] mit

[mm]\lambda(F) > \lambda(A) - \varepsilon[/mm].

Für die kompakte Mengen [mm]K_n = F \cap [-n,n][/mm] gilt dann:

[mm]\bigcup_{n \in \IN} K_n = F[/mm],

also:

[mm]\lim_{n \to \infty} \lambda(K_n) = \lambda(F) > \lambda(A) - \varepsilon[/mm].

Da [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig war, folgt in der Tat die Behauptung:

[mm]\lambda(A) = \sup\{\lambda(K)\, :\, K \subset A, \, K \, \mbox{kompakt}\}[/mm]

Alles Gute
Stefan


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