maximales Volumen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aus einem Stück Papier (DIN A4: 297 x 210 mm) soll eine nach oben geöffnete, quaderförmige Schachtel gefaltet werden.
Dazu wird an den Ecken jeweils ein Quadrat mit der seitenlänge x ausgeschnitten.
Wie groß soll man die Länge x wählen, um ein möglichst großes Volumen dieser Box zu erhalten? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gegeben ist ja schon einmal die Länge mit 29.7cm und die Breite mit 21cm.
Ich kenne auch schon die Formeln V (Quadrat) = länge * breite * Höhe = a*b*c
Und A (Rechteck) = Länge * breite
Siehe Bildunganhang:
Um die Formel V= a*b*c auszufüllen muss ich die von der Skizze ablesbaren Formeln nach den Parametern umstellen
L= 2*b + a --> a=L-2*b
B=2*b +c --> c=B-2*b
Nun setzte ich es in die Volumen-Formel ein:
V= (L-2*b) * b * (B-2*b)
um das größte Volumen rauszubekommen brauch ich ja die Extrempunkte weshalb ich die 1. und 2. Ableitung gemacht habe:
V' = 2*b(3*b-L)
V''= 12*b-2*L
Setzte ich nun die 1.ableitung gleich null erhalte ich:
x1= 1/3 und x2= 0
Diese x-werte setzte ich nun in die 2.ableitung ein:
12*1/3-2*29.7= -55.4
12*1/3-2*29.7= -59.4
Und weiter weiß ich leider nicht... Kann mir vielleicht jemand bitte helfen wie es weiter gehen könnte bei der Rechnung oder ob diese Ansätze überhaupt richtig sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Do 14.01.2016 | | Autor: | chrisno |
V= (L-2*b) * b * (B-2*b)
Soweit stimme ich zu.
V' = 2*b(3*b-L)
das glaube ich nicht. Wo ist das B geblieben?
Hast Du zweimal die Produktregel angewendet?
Ein anderer Weg ist, die Klammern ausmultiplizieren und dann ableiten.
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Wenn ich ausmultipliziere erhalte ich:
V= L*B*b-2*(L+B)*b2+4*b3
Die Ableitungen wären dann:
V'= L*B-4*(L+B)*b+12*b2
V''=-4*(L+B)+24*b
b2 bedeutet b hoch 2
b3 bedeutet b hoch 3
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ich glaube ich habe die Lösung gefunden mit den neuen ableitungen :)
ich setze die 1.ableitung gleich 0:
[mm] b1=-(\wurzel{B²-B*L+L²} [/mm] -B-L / 6
b2= [mm] \wurzel{B²-B*L+L²} [/mm] +B+L / 6
dann setze ich die vorhandenen werte, also Breite und Länge, ein und erhalte:
b1= 4,04234
b2= 12,8577
Diese Werte, b1 und b2, habe ich nun in die 2.ableitung eingesetzt und habe erhalten:
105.785 größer als 0 --> Tiefpunkt
-105.784 kleiner als 0 --> Hochpunkt
mit dem einsetzen in die 2.ableitung kann ich ja herausfinden ob es sich um einen hochpunkt oder tiefpunkt handelt. da ich ja das maximum an volumen erhalten möchte denke ich ist der hochpunkt am logischsten.
daher würde ich sagen das der wert b1= 4,04234 die gesuchte länge ist welche ausgescchnitten werden soll um ein größtmögliches volumen zu erhalten
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 14.01.2016 | | Autor: | chrisno |
$ V'= [mm] L\cdot{}B-4\cdot{}(L+B)\cdot{}b+12\cdot{}b^2 [/mm] = 0$
ich sortiere ein wenig
$ [mm] b^2 -\br{1}{3}\cdot [/mm] (L+B) [mm] \cdot [/mm] b + [mm] \br{1}{12} L\cdot [/mm] B = 0$
Mit der pq-Formel komme ich erst einmal nicht auf Dein Ergebnis.
Auch lohnt es sich, ohne Rechnen ein wenig zu überlegen.
Es gibt eine obere Grenze für b, nämlich dann, wenn das Blatt einfach gefaltet wird. Dann ist das Volumen Null. Es gibt auch eine untere Grenze für b, nämlich Null. Auch dann ist das Volumen Null. Dazwischen liegt sicher ein Maximum. An ein Minimum in diesem Bereich glaube ich nicht. Ich bin sicher, dass das Minimum bei einem negativen Wert für b liegt. Warten wir ab, was die Rechnung ergibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Do 14.01.2016 | | Autor: | michelle98 |
Danke für die Hilfe :)
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Um dem Problem aus dem Weg zu gehen, stimme ich crisno zu: der Definitionsbereich für die Variable b ist wichtig! Wenn man sich am Anfang darüber Gedanken macht, bekommt man dann während der Rechnung auch keinen Tiefpunkt raus.
Bei Anwendungsaufgaben ist deshalb oft der mögliche Bereich der zu verändernden Variablen von großer Bedeutung. Überlegungen dazu erspart verwirrende Ergebnisse! 
Ich finde u.a. gut, dass michelle zuerst allgemein gerechnet und erst am Ende die gegebenen Zahlen eingesetzt hat!
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