maximales Element,ob. Schranke < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich im Moment für Algebra mit dem Auswahlaxiom (und seinen Äquivalenzen).
Am Schwersten tue ich mich leider immer noch mit der genauen Definition des Lemmas von Zorn:
"Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element."
Das Standardbeispiel ist P(M) und dann teilweise geordnet durch Inklusion.
Ich sehe leider nicht, wie eine obere Schranke einer Kette nicht gleichzeitig direkt ein maximales Element seien kann. Bzgl des Beispiels wäre meinem Verständnis nach die Menge selbst obere Schranke und halt auch maximales Element.
Andererseits, wenn man eine beliebige Kette nimmt, die eine obere Schranke hat, dann ist entweder die obere Schranke ein maximales Element oder es gibt halt ein Element das größer ist, das man ergo an die Kette anhängen kann usw. Wenn man also eine beliebige Kette nimmt, müsste man im Zweifel immer beim maximalen Element landen... Wo ist mein Denkfehler?
Dankeschön
Skorpinus
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. #
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Mo 26.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich beschäftige mich im Moment für Algebra mit dem
> Auswahlaxiom (und seinen Äquivalenzen).
Ah, wieso in Algebra?
> Das Standardbeispiel ist P(M) und dann teilweise geordnet
> durch Inklusion.
> Ich sehe leider nicht, wie eine obere Schranke einer Kette
> nicht gleichzeitig direkt ein maximales Element seien kann.
Naja, Nimm mal [m]M=\IR[/m] und die Kette [m]\emptyset, \{1\}[/m], welche oberen Schranken gibt es? Aber es gibt nur ein maimales Element!
> Bzgl des Beispiels wäre meinem Verständnis nach die Menge
> selbst obere Schranke und halt auch maximales Element.
Ja und ja.
> Andererseits, wenn man eine beliebige Kette nimmt, die
> eine obere Schranke hat, dann ist entweder die obere
> Schranke ein maximales Element oder es gibt halt ein
> Element das größer ist, das man ergo an die Kette anhängen
> kann usw.
Kann? Sicher - aber nicht muss.
> Wenn man also eine beliebige Kette nimmt, müsste
> man im Zweifel immer beim maximalen Element landen... Wo
> ist mein Denkfehler?
Das maximale Element muss nicht in der Kette liegen.
SEcki
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