maximale Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 11.11.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Eine Untergruppe H [mm] \subseteq [/mm] G, [mm] H\not= [/mm] G heisst maximal, wenn für jede Untergruppe L mit H [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] G entweder L = G oder L = H gilt.
Zeige, dass das Zentrum einer endlichen Gruppe nicht maximal ist.
|
Ich habe leider gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann. Die Definition des Zentrums ist mir klar.
Z(G) = {x [mm] \in [/mm] G : xy = yx [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] G}.
Sei nun also Z(G) [mm] \subseteq [/mm] G.
Sollte ich nun ein L finden mit H [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] G, wobei nicht gilt, dass L=G oder L=H? Oder muss ich besser anders vorgehen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Eine Untergruppe H [mm]\subseteq[/mm] G, [mm]H\not=[/mm] G heisst maximal,
> wenn für jede Untergruppe L mit H [mm]\subseteq[/mm] L [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G
> entweder L = G oder L = H gilt.
> Zeige, dass das Zentrum einer endlichen Gruppe nicht
> maximal ist.
>
> Ich habe leider gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich
> hier vorgehen kann. Die Definition des Zentrums ist mir
> klar.
>
> Z(G) = {x [mm]\in[/mm] G : xy = yx [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G}.
>
> Sei nun also Z(G) [mm]\subseteq[/mm] G.
Es ist sogar ein Normalteiler.
Gehe wie folgt vor: ueberlege dir, dass fuer einen Normalteiler $N$ in $G$ gilt:
$N$ ist maximale Untergruppe [mm] $\Leftrightarrow$ $\{ e \}$ [/mm] ist maximale Untergruppe in $G/N$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $|G/N| = p$ fuer eine Primzahl $p$
Jetzt ueberleg dir mal, $G/Z(G)$ waere von der Ordnung $p$ (Primzah). Kannst du zeigen, dass dies einen Widerspruch ergibt, sprich dass dann bereits $Z(G) = G$ sein muesste?
LG Felix
|
|
|
|
