"max" statt Summenzeichen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für v ∈ [mm] \IR^{n} [/mm] sind die drei Normen wie folgt definiert:
[mm] \parallel v\parallel_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|v_{i}|
[/mm]
[mm] \parallel v\parallel_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}|v_{i}|^{2}}
[/mm]
[mm] \parallel v\parallel_{\infty} [/mm] = max (ab i=1, bis n) [mm] |v_{i}|
[/mm]
Ergänzen Sie ein Hauptprogramm zum testen, das die drei Funktionen für Vektoren der Länge 100 – initialisiert mit Zufallszahlen aus [0; 1) – aufruft. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst mal weiß ich nicht, ob dies das richtige Unterforum ist, weil ich nicht genau weiß, zu welchem Gebiet dies gehört.
Also die Frage ist: Was bedeutet das:
[mm] \summe_{i=1}^{n}
[/mm]
nur anstelle des Summenzeichens ein "max" ?
Habe es noch nie gesehen und weiß auch nicht wie man damit umgeht, bzw. was man da überhaupt mit berechnet.
Es wird in einer Informatikaufgabe gefordert, daher die Frage.
MfG und frohes Fest :)
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Hallo,
die letzte Norm ist ganz einfach die ![[]](/images/popup.gif) Maximumsnorm. Sie ist (für Vektoren) definiert als Maximum der Beträge der einzelnen Komponenten eines Vektors. In der Informatik wird es hier sicherlich u.a. darum gehen, einen Algorithmus zu bauen, der dieses Maximum möglichst schnell aufspürt (sofern die verwendete Sprache nicht schon eine Routine bzw. Methode dafür mitbringt).
PS: bei der euklidischen Norm (das ist die mittlere) ist dir das Quadrat abhanden gekommen...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 24.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für v ∈ [mm]\IR^{n}[/mm] sind die drei Normen wie folgt
> definiert:
>
> [mm]\parallel v\parallel_{1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}|v_{i}|[/mm]
>
> [mm]\parallel v\parallel_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|v_{i}|}[/mm]
Da soll wohl stehen: [mm]\parallel v\parallel_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|v_{i}|^2}[/mm]
>
> [mm]\parallel v\parallel_{\infty}[/mm] = max (ab i=1, bis n)
> [mm]|v_{i}|[/mm]
>
> Ergänzen Sie ein Hauptprogramm zum testen, das die drei
> Funktionen für Vektoren der Länge 100 – initialisiert
> mit Zufallszahlen aus [0; 1) – aufruft.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zunächst mal weiß ich nicht, ob dies das richtige
> Unterforum ist, weil ich nicht genau weiß, zu welchem
> Gebiet dies gehört.
>
> Also die Frage ist: Was bedeutet das:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]
Für n Zahlen [mm] a_1, ...,a_n [/mm] iat
[mm]\summe_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+....+a_n[/mm]
FRED
> nur anstelle des Summenzeichens ein "max" ?
> Habe es noch nie gesehen und weiß auch nicht wie man
> damit umgeht, bzw. was man da überhaupt mit berechnet.
> Es wird in einer Informatikaufgabe gefordert, daher die
> Frage.
>
> MfG und frohes Fest :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 24.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für v ∈ [mm]\IR^{n}[/mm] sind die drei Normen wie folgt
> definiert:
>
> [mm]\parallel v\parallel_{1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}|v_{i}|[/mm]
>
> [mm]\parallel v\parallel_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|v_{i}|}[/mm]
>
> [mm]\parallel v\parallel_{\infty}[/mm] = max (ab i=1, bis n)
> [mm]|v_{i}|[/mm]
>
> Ergänzen Sie ein Hauptprogramm zum testen, das die drei
> Funktionen für Vektoren der Länge 100 – initialisiert
> mit Zufallszahlen aus [0; 1) – aufruft.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zunächst mal weiß ich nicht, ob dies das richtige
> Unterforum ist, weil ich nicht genau weiß, zu welchem
> Gebiet dies gehört.
>
> Also die Frage ist: Was bedeutet das:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]
> nur anstelle des Summenzeichens ein "max" ?
> Habe es noch nie gesehen und weiß auch nicht wie man
> damit umgeht, bzw. was man da überhaupt mit berechnet.
> Es wird in einer Informatikaufgabe gefordert, daher die
> Frage.
es ist mir irgendwie unklar, ob Deine Frage schon beantwortet wurde (das
liegt an Deiner etwas komischen "Konstruktion" der Frage [siehe rote
Markierung oben]), aber mal einfach der Vollständigkeit wegen:
[mm] $\max_{i=1}^n |v_i|=\max\{|v_i|:\;\;i=1,...,n\}=\max\left(\bigcup_{i=1}^n \{|v_i|\}\right)$
[/mm]
Beispiel:
Ist [mm] $v=(1,-3,12,-24)=(v_1,v_2,v_3,v_4),$ [/mm] so ist
[mm] $\|v\|_\infty=\max_{i=1}^4 |v_i|=\max\{|v_i|:\;\;i=1,...,4\}=\max\{|v_1|,|v_2|,|v_3|,|v_4|\}=\max\{1,3,12,24\}=24\,.$
[/mm]
(Allgemein: [mm] $\max [/mm] M$ bezeichnet das Maximum der Menge [mm] $M\,.$ [/mm] D.h. ist $M [mm] \subseteq \IR$
[/mm]
nach oben beschränkt, so existiert bereits [mm] $\sup [/mm] M =:S [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Falls nun zudem $S [mm] \in [/mm] M$
gilt [das ist übrigens bei endlichen Mengen stets der Fall - eine Menge heißt
dabei endlich, falls sie nur endlich viele Elemente besitzt!], so existiert [mm] $\max [/mm] M$
und es ist zudem [mm] $S=\max [/mm] M.$ Genaueres dazu kannst Du auch
diesem Skript, ab Kapitel 3
entnehmen!)
P.S. Generell kann man solche Symbole in vielen Analysis-Büchern nachschlagen;
bspw. in Heusers Werk Analysis I.
Gruß,
Marcel
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Danke an Diophant und Marcel! Hat mir sehr geholfen. :)
P.S. Der Fehler bei der euklidischen Norm war ein Tipp-/Flüchtigkeitsfehler und ein "max" Symbol habe ich bei dem Formelsalat unten nicht entdeckt, daher die "komische" Fragestellung. :)
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