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matrizen: Matrixprodukt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Di 22.05.2012
Autor: Melisa_Maria

Aufgabe
Hallo Leute ich braeuchte ihre hilfe ich habe 2 Aufgaben die ich nicht loesen kann
1.ich habe die Aufgaben:
1. Schnelles berechnen des Matrixprodukts:
Zeigen Sie (Die Aussagen in() muessen dabei nicht beweisen werden!):
(a) Der folgende Algorithmus (von Strassen) berechnet das Matrixprodukt, er benoetigt fuer n=2 insgesamt 7 (<8) Multiplikationen (und Additionen, dabei Zwischenergebnisse benutzen!)
(b)fuer [mm] n=2^k, [/mm] k∈ℕ, benoetigt er O(n^log₂7) [mm] ( Eingabe: A,B∈ℝ^(n×n) und [mm] n=2^k [/mm] fuer ein k∈ℕ
Ausgabe: Das Produkt AB∈ℝ^(n×n)

(a) Falls n=1, dann schreibe A=(a), B=(b). Ausgabe (ab).
(b) sonst schreiben wir: [mm] A=\pmat{ A_{11}& A_{12} \\ A_{21} & A_{22} } B=\pmat{ B_{11}& B_{12} \\ B_{21} & B_{22} } [/mm]
mit  [mm] A_{ij},B_{ij},∈ℝ^{(n/2)×(n/2)} [/mm]
                                            
(c) Wir setzen nun:
P₁=A₁₁B₁₁,
P₂=A₁₂B₂₁,
P₃=(A₁₂−((A₂₁+A₂₂)−A₁₁))∗B₂₂,
P₄=A₂₂∗((B₂₂−(B₁₂−B₁₁))−B₂₁)
P₅=(A₂₁+A₂₂)∗(B₁₂−B₁₁)
P₆=((A₂₁+A₂₂)−A₁₁)∗(B₂₂−(B₁₂−B₁₁))
P₇=(A₁₁−A₂₁)∗(B₂₂−B₁₂)

Ausgabe [mm] (d):\pmat{ P_{1}+P_{2} & ((P_{1}+P_{6})+P_{5})+P_{3} \\ ((P_{1}+P_{6})+P_{7})-P_{4} &((P_{1}+P_{6})+P_{7})+P_{5}} [/mm]




Aufgabe 2:
Matrixdarstellung einer Linearen Abbildung:
Fuer eine Menge N bezeichne [mm] id_{n}:N→N [/mm] die identische Abbildung. Sei V:=ℝ[t]_{≤d}. Bestimmen Sie die Mtrixdarstellung
[mm] A:=M_B^A(id_{v}) [/mm]
von [mm] id_{v} [/mm] bzgl. der Basen [mm] A:=(1,t,...,t^d) [/mm] und B:=(1, t−alfa,...,(  t  −  [mm] alfa)^d) [/mm]
Wenn jemand Zeit hat bitte helft mir
LG Melisa

Trotz viele Muehe hab ich keine Ahnung wie ich diese Aufgaben loesen kann

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:  http://www.onlinemathe.de/forum/Matrizen-und-Vektoren

        
Bezug
matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mi 23.05.2012
Autor: Schadowmaster

moin Melisa,

Zur ersten Aufgabe:
Dass der Algorithmus 7 Multiplikationen braucht hast du hoffentlich schon eingesehen, wenn nein dann zähl mal durch.
Du musst also noch zeigen, dass das was da ausgerechnet wird auch wirklich das Produkt ist.
Wenn du den Teil hast dann überlege dir mal, wie viele Multiplikationen benötigt werden, wenn jeder * für eine weitere Multiplikation von Matrizen steht; da kannst du dir sicher mit ein wenig rumprobieren eine rekursive Formel für zurechtschneidern.

Bei der zweiten Aufgabe solltest du vielleicht verraten, was du schon über Abbildungsmatrizen weißt?
Die Identität ist ja eine lineare Abbildung und du hast hier zwei Basen gegeben; wie kommst du dann an die Abbildungsmatrix?


lg

Schadow

Bezug
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