matrix konstr. B²=A < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 09.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Konstruieren SIe zu der folgenden MatrixA e [mm] R^{4x4} [/mm] eine Matrix B e [mm] R^{4x4} [/mm] mit [mm] B^{2} [/mm] = A
A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 &1 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1& 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 2 } [/mm] |
Hallo!
Ich hab keine idee wie ich da dran gehen soll.
wenn ich eine unbekannte matrix * eine unbek.matrix = A setze komme ich auf extrem viele gleichungen, die gewiss lösbar wären, aber s geht bestimmt einfacher.
hab irgendwie im kopf A zu diagonalisieren
hab ich zur übung gemacht
udn da erhalte ich die Diagonalmatrix
D= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
aber kann ich davon auf B kommen?
wenn ich [mm] b^{2}= [/mm] D setze
wäre B = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }
[/mm]
aber das ist gewiss nicht A
anderer weg?
danke für tips!
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> Konstruieren SIe zu der folgenden MatrixA e [mm]R^{4x4}[/mm] eine
> Matrix B e [mm]R^{4x4}[/mm] mit [mm]B^{2}[/mm] = A
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 &1 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1& 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> hab irgendwie im kopf A zu diagonalisieren
Hallo,
ja, das ist doch eine gute Idee.
Dann findest Du eine Matrix T mit Diagonalmatrix (von unten) D= [mm] T^{-1}AT.
[/mm]
Also ist [mm] A=TDT^{-1}=T \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }T^{-1} T\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }T^{-1}.
[/mm]
Du warst also schon dicht dran.
Gruß v. Angela
>
> hab ich zur übung gemacht
> udn da erhalte ich die Diagonalmatrix
>
> D= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> aber kann ich davon auf B kommen?
>
> wenn ich [mm]b^{2}=[/mm] D setze
> wäre B = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }[/mm]
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> aber das ist gewiss nicht A
>
> anderer weg?
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> danke für tips!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 09.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ich bin gerade etwas irritiert ueber deine aufschreibweise. (das [mm] irritiert mich etwas;))
hab gerade in meinem skript folgendes gefunden,
[mm] A=T*D*T^{-1}
[/mm]
und [mm] A^{n}= T*D^{n}*T^{-1}
[/mm]
hat das was damit zu tun?
das T ist bei uns im skript dann dadurch entstanden, dass man die eigenvektoren in eine matrix geschrieben hat.
soll ich das nun auch von der Matrix A machen?
bin gerade etwas durcheinander...
danke
gruss
muhmuh
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Hallo,
ich schreibe dir nochmal Angela's Hinweise ohne [ mm ]:
$D = [mm] T^{-1}*A*T$.
[/mm]
In T stehen die Eigenvektoren.
Weiter soll gelten:
$D = [mm] T^{-1}*B^{2}*T [/mm] = [mm] T^{-1}*B*(T*T^{-1})*B*T [/mm] = [mm] (T^{-1}*B*T)^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] B = [mm] T*\sqrt{D}*T^{-1}$
[/mm]
Du musst nun also nun erstmal komplett alles machen, was du sonst machen müsstest, um A zu diagonalisieren, also Eigenwerte und die Transformationsmatrix T bestimmen.
Dann kannst du B wie oben berechnen (Die Wurzel einer Diagonalmatrix ist die Matrix, in der bei der Diagonalmatrix von jedem Element die Wurzel gebildet wurde).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 09.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok jetzt ist alles klar:)
danke!
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