maiorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz (mit Beweis) mit Hilfe des Majoranten- bzw. Minorantenkriteriums:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{n+1} -\wurzel{n}) [/mm] |
hallo!
also ich würde die aufgbe gerne mit beiden kriterien beweisen... kann es aber mit keinem :(
beim maiorantenkriterium suche ich mir eine maiorante, dh. eine Reihe [mm] c_{n} [/mm] die größer gleich der gegebenen reihe [mm] a_{n} [/mm] ist. wenn diese konvergiert, konvergiert die ursprüngliche reihe auch.
da ich bei der aufgabe keinen nenner habe der kleiner werden könnte muss also der zähler also das was da steht größer werden, ja?
ich hab jetz mal folgendes probiert:
da und die ersten summanden nicht interessieren, kann ich doch auch statt 1 ein n schreiben für das gilt n gößer gleich 1 (wobei unsere summe ja eh bei n=1 anfängt), also
[mm] \wurzel{n+n} -\wurzel{n} [/mm] =n - [mm] \wurzel{n}> a_{n}
[/mm]
dann weiß ich aber nicht weiter...
als 2. hab ich probiert zu erweitern:
[mm] \wurzel{n+1} -\wurzel{n}) \bruch{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{n+1-n}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}
[/mm]
mit meiner abschätzung->
< [mm] \bruch{1}{n +\wurzel{n}}
[/mm]
und tadaaaaaa ich weiß nicht weiter... :(
mach ich iwas richtig ?...
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Hiho,
> als 2. hab ich probiert zu erweitern:
>
> [mm]\wurzel{n+1} -\wurzel{n}) \bruch{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{n+1-n}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}[/mm]
Soweit so gut, nun weiter mit:
[mm] $\ge \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\sqrt{n+1}} \ge \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] $
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 11.01.2010 | | Autor: | suxul |
> Hiho,
> > als 2. hab ich probiert zu erweitern:
> >
> > [mm]\wurzel{n+1} -\wurzel{n}) \bruch{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{n+1-n}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}[/mm]
>
> Soweit so gut, nun weiter mit:
>
> [mm]\ge \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n+1}} = \bruch{1}{2\sqrt{n+1}} \ge \bruch{1}{2(n+1)}[/mm]
erste frage: wieso heißt es bei dir [mm] \ge [/mm] ? ich such doch eine maiorante also müsste doch immer [mm] \le [/mm] stehen oder?
zweite frage: geht das was ich gemeint habe nicht, dass ma für 1 ein n einsetzt? ich hab nämlich grad gesehn, dass man meinen bruch nur noch mit n erweitern müsste und dann folgt
[mm] =\bruch{1}{n+1}
[/mm]
und das kann ich doch dann als maiorante hernehmen oder?
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Hallo suxul,
> > Hiho,
> > > als 2. hab ich probiert zu erweitern:
> > >
> > > [mm]\wurzel{n+1} -\wurzel{n}) \bruch{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{n+1-n}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}= \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}[/mm]
>
> >
> > Soweit so gut, nun weiter mit:
> >
> > [mm]\ge \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n+1}} = \bruch{1}{2\sqrt{n+1}} \ge \bruch{1}{2(n+1)}[/mm]
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> erste frage: wieso heißt es bei dir [mm]\ge[/mm] ? ich such doch
> eine maiorante
Boah, das Ding heißt Majorante
> also müsste doch immer [mm]\le[/mm] stehen oder?
Das müsste es, wenn du nach einer konvergenten Majorante suchtest, deine Reihe ist aber divergent, du benötigst also eine divergente Minorante, also eine kleinere Reihe als deine Ausgangsreihe, die zudem divergent ist.
In die Richtung hat dich Gono doch mit seiner Abschätzung ziemlich deutlich gestupst, oder nicht?
Nun hast du nach seiner Abschätzung schon fast eine harmonische Reihe dastehen.
Schätze noch ein wenig weiter (in dieselbe Richtung!) ab, bis du eine Variante der harmonischen Reihe, also sowas wie [mm] $K\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] hast mit [mm] $K\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] ...
> zweite frage: geht das was ich gemeint habe nicht, dass ma
> für 1 ein n einsetzt? ich hab nämlich grad gesehn, dass
> man meinen bruch nur noch mit n erweitern müsste und dann
> folgt
> [mm]=\bruch{1}{n+1}[/mm]
> und das kann ich doch dann als maiorante hernehmen oder?
Mit einer Majorante kannst du hier nix anfangen ...
Zumal deine Abschätzung auch falsch ist.
Es ist [mm] $\sqrt{n+1}
Damit [mm] $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \frac{1}{n+\sqrt{n}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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