www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - lokale + globale Extrema
lokale + globale Extrema < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lokale + globale Extrema: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Di 03.01.2012
Autor: juli84

Aufgabe
Betrachten Sie
f : R -> R; x |-> [mm] (x^2 [/mm] - 49x + [mm] 1)*e^x [/mm]

Berechnen Sie alle lokalen Extrema von f. Berechnen Sie (falls vorhanden) die globalen Extrema von f.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



So nun bin ich soweit, dass ich die lokalen Extrema berechnet habe. Dazu habe ich erstmal die Funktionsgleichung 2mal abgeleitet, also:

f(x)   [mm] =(x^2-49x+1)*e^x [/mm]
f'(x)  [mm] =(x^2-47x-48)*e^x [/mm]
f''(x) [mm] =(x^2-45x-95)*e^x [/mm]

Die Ableitungen stimmen auch soweit.

Danach habe ich die lokalen Extrema berechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Das lokale Minimum ist T(48 | -3,297865879*10^22)
Das lokale Maximum ist H(-1 | 18,7618515).

Nun soll man ja noch die globalen Extrema bestimmen, da habe ich ein Problem bei... Ich habe mir einfach gedacht, da man ja f: |R -> |R hat, ist der Definitionsbereich ja [-oo , + oo]. Also habe ich einfach mal f(x) auf den limes mit x gegen -oo und x gegen +oo untersucht. Da kam ich zu dem Ergebnis, dass der limes von f(x) mit x gegen -oo gleich 0 ist und der limes von f(x) mit x gegen +oo gegen +oo läuft.

Also für x->-oo:
lim [mm] (x^2-49x+1)*e^x=0, [/mm] da die Klammer gegen +oo läuft und [mm] e^x [/mm] gegen 0 läuft.

Und für x->+oo:
lim [mm] (x^2-49x+1)*e^x=+oo, [/mm] da die Klammer gegen +oo läuft und [mm] e^x [/mm] gegen +oo läuft.

Dann habe ich einfach diese beiden Grenzwerte mit den Funktionswerten von den lokalen Extrempunkten verglichen und habe mir folgendes gedacht:

Wenn die Grenzwerte kleiner sind als ein Funktionswert, dann ist der zugehörige x-Wert von dem Funktionswert ein globales Maximum.

Wenn die Grenzwerte größer sind als ein Funktionswert, dann ist der zugehörige x-Wert von dem Funktionswert ein globales Minimum.

Ist ja ganz logisch, oder?

Meine Begründung lautet dann also:

Da beide Grenzwerte (o und +oo) größer als der Funktionswert von x=48 sind, handelt es sich bei T(48 | -3,297865879*10^22) um ein globales Minimum.

Ist das so richtig? Wie lautet dann die Begründung zu dem globalen Maximum? Und was ist überhaupt das globale Maximum?
In der Aufgabenstellung steht ja BERECHNE, aber ich hab ja in der Hinsicht nur die Grenzwerte berechnet, hmm...

        
Bezug
lokale + globale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Di 03.01.2012
Autor: ullim

Hi,

die lokalen Extremwerte hast Du ja.

Wenn Du die erste Ableitung ein wenig anders schreibst, nämlich

[mm] f'(x)=e^x(x+1)(x-48) [/mm]

dann sieht man das f'(x)>0 (streng monoton wachsend) für x>48 und x<-1 und f'(x)<0 (streng monoton fallend) für -1<x<48

D.h. links von -1 wird der Funktionswert nicht kleiner als [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0 [/mm] und

rechts von 48 wird der größste Wert für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty [/mm] angenommen.

Damit wird das globale Minimum bei x=48 und das globale Maximum bei [mm] x->\infty [/mm] angenommen.

Bezug
        
Bezug
lokale + globale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:07 Mi 04.01.2012
Autor: fred97

Zwei Bemerkungen zu globalen Extremstellen:

1. Da f auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und differenzierbar ist, gilt für [mm] x_0 \in \IR: [/mm]

       hat    f  in [mm] x_0 [/mm] ein globales Extremum,  so ist  [mm] f'(x_0)=0. [/mm]

2. Mit der Aussage

         ".... das globale Maximum wird bei x [mm] \to \infty [/mm] angenommen..."

von ullim bin ich überhaupt nicht einverstanden !

Es gilt: f(x) [mm] \to \infty [/mm]  für x [mm] \to \infty [/mm]

Damit ist f nicht nach oben beschränkt.

Fazit: f hat kein globales Maximum.

FRED

Bezug
                
Bezug
lokale + globale Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:27 Mi 04.01.2012
Autor: ullim

Hi,

ich denke da hast Du recht.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]