lok.Extr.unter Nebebedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f(x,y) := x^6+y^6+x^2+y^2 \quad (x,y) \ in \IR^2 [/mm]
a) Begründen Sie ohne Rechnung, dass [mm]f[/mm] auf der Menge [mm] B := \{ (x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 \le 1 \} [/mm] ein globales Maximum und ein globales Minimum hat.
b) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von [mm]f[/mm] im Inneren von [mm]B[/mm].
c) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von [mm]f[/mm] auf dem Rand von [mm]B[/mm].
d) Bestimmen Sie die globalen Extrema von [mm]f[/mm] auf [mm]B[/mm]. |
Ich habe einen Großteil der Aufgaben lösen können und würde mich freuen, wenn jemand mal einen Blick darauf werfen könnte. Und an manchen Stellen habe ich auch noch Fragen.
a) Da [mm] B := \{ (x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 \le 1 \} [/mm] ein abgeschlossener Kreis ist, ist [mm]B[/mm] kompakt. Da [mm]f[/mm] ferner Stetigt ist, nimmt [mm]f[/mm] nach dem Satz über Existenz von Minima und Maxima ein globales Maximum und ein globales Minimum an.
Kann man das so schreiben?
b) [mm] f(x,y) := x^6+y^6+x^2+y^2 \Rightarrow grad f(x,y) = (6x^5+2x, 6y^5+2y) = (0,0) [/mm]
[mm] \Rightarrow 6x^5+2x [/mm] = 0 [mm] \gdw x(6x^4+2) [/mm] = 0 [mm] \gdw 6x^4+2 [/mm] = 0 [mm] \gdw 6x^4 [/mm] = -2 [mm] \gdw x^4 [/mm] = -1/3 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \wurzel[4]{-1/3} [/mm] existiert nicht!
[mm] \Rightarrow [/mm] einzige Lösung: x = 0
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]6y^5+2y[/mm] analog [mm] \Rightarrow [/mm] einzige Lösung: y = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] einziger möglicher Kandidat für Extrema: (x,y) = (0,0)
[mm] Hf(x,y) = \pmat{ 30x^4+2 & 0 \\ 0 & 30y^4+2 } \Rightarrow Hf(0,0) = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } \Rightarrow det Hf(0,0) = 4 > 0 \Rightarrow Hf(0,0)[/mm] positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] lokales Minimum in [mm](0,0)
f(0,0) = 0 [/mm]
c) Nebenbedingnung: [mm] g(x,y) = x^2+y^2-1=0 \gdw g_x(x,y) = 2x, \quad g_y(x,y) = 2y [/mm]
[mm] 6x^5+2x = \lambda \cdot 2x \gdw 3x^4+1 = \lambda; \quad 6y^5+2y = \lambda \cdot 2y \gdw 3y^4+1 = \lambda \Rightarrow 3x^4+1 = 3y^4+1 \gdw x^4 = y^4 \gdw |x| = |y|
g(x,y) = x^2+y^2-1 \Rightarrow |x| = |y| \Rightarrow x^2+x^2 = 1 \gdw x = \pm \wurzel{1/2} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] mögliche Kandidaten für Extrema: [mm] (\pm \wurzel{1/2},\pm \wurzel{1/2}),(\pm \wurzel{1/2},\mp \wurzel{1/2})
[/mm]
Und jetzt?
d) Da auf dem Inneren von [mm]B[/mm] ein lok. Min. (welches gleichzeitig ein globales Min sogar auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] ist) und auf dem Rand von [mm]B[/mm] ein lok. Max., bleibt zu überprüfen, ob auf dem Inneren ein lok. Max. existiert, bzw. auf dem Rand von ein Minimum. Da (0,0) der einzige mögliche Kandidat für ein Extr. auf dem Inneren ist, kann auf dem Inneren kein Max. bestehen. Ein lok. Minimum auf dem Rand spielt keine Rolle, da wegen f(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^2 [/mm] (0,0) ein globles Min. auf [mm] \IR^2 [/mm] ist. Das lok. Max. auf dem Rand ist (auch nach a)) ein globales Max. auf [mm]B[/mm].
Kann man das so schreiben?
LG fagottator
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> Betrachten Sie die Funktion [mm]f(x,y) := x^6+y^6+x^2+y^2 \quad (x,y) \ in \IR^2[/mm]
>
> a) Begründen Sie ohne Rechnung, dass [mm]f[/mm] auf der Menge [mm]B := \{ (x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 \le 1 \}[/mm]
> ein globales Maximum und ein globales Minimum hat.
>
> b) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von [mm]f[/mm] im Inneren von
> [mm]B[/mm].
>
> c) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von [mm]f[/mm] auf dem Rand von
> [mm]B[/mm].
>
> d) Bestimmen Sie die globalen Extrema von [mm]f[/mm] auf [mm]B[/mm].
Hallo,
Du bist zu sorglos mit Äquivalenz- und Folge pfeilen.
Verwende sie nur dort, wo es paßt.
Zum Beispiel sowas
> [mm] x(6x^4+2)= [/mm] 0 [mm]\gdw 6x^4+2[/mm] = 0
und sowas
> g(x,y) = [mm] x^2+y^2-1 \Rightarrow [/mm] |x| = |y|
ist schlichtweg grottenfalsch.
Ich werde in Deinem Post nicht jedesmal daraufhinweisen, sondern nehme es wie einen Gewitterregen - "in echt" bringt Dir's Punktabzug.
>
> a) Da [mm]B := \{ (x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 \le 1 \}[/mm] ein
> abgeschlossener Kreis ist, ist [mm]B[/mm] kompakt. Da [mm]f[/mm] ferner
> Stetigt ist, nimmt [mm]f[/mm] nach dem Satz über Existenz von
> Minima und Maxima ein globales Maximum und ein globales
> Minimum an.
>
> Kann man das so schreiben?
Ja, das ist richtig.
>
> b) [mm]f(x,y) := x^6+y^6+x^2+y^2 \Rightarrow grad f(x,y) = (6x^5+2x, 6y^5+2y) = (0,0)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 6x^5+2x[/mm] = 0 [mm]\gdw x(6x^4+2)[/mm] = 0 [mm]\gdw 6x^4+2[/mm] = 0
> [mm]\gdw 6x^4[/mm] = -2 [mm]\gdw x^4[/mm] = -1/3 [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\wurzel[4]{-1/3}[/mm]
> existiert nicht!
> [mm]\Rightarrow[/mm] einzige Lösung: x = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]6y^5+2y[/mm] analog [mm]\Rightarrow[/mm] einzige Lösung: y
> = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] einziger möglicher Kandidat für Extrema:
> (x,y) = (0,0)
>
> [mm]Hf(x,y) = \pmat{ 30x^4+2 & 0 \\ 0 & 30y^4+2 } \Rightarrow Hf(0,0) = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } \Rightarrow det Hf(0,0) = 4 > 0 \Rightarrow Hf(0,0)[/mm]
> positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] lokales Minimum in [mm](0,0)
f(0,0) = 0[/mm]
Richtig.
>
> c) Nebenbedingnung: [mm]g(x,y) = x^2+y^2-1=0 \gdw g_x(x,y) = 2x, \quad g_y(x,y) = 2y[/mm]
>
> [mm]6x^5+2x = \lambda \cdot 2x \gdw 3x^4+1 = \lambda;[/mm]
Wie oben erwähnt, stimmt diese Folgerung so nicht. Es folgt x=0 oder [mm] 3x^4+1 [/mm] = [mm] \lambda,
[/mm]
und für y erhältst Du y=0 oder [mm] 3y^4+1 [/mm] = [mm] \lambda.
[/mm]
> [mm] \quad 6y^5+2y [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2y [mm] \gdw 3y^4+1 [/mm] = [mm] \lambda \Rightarrow 3x^4+1 [/mm] = [mm] 3y^4+1 \gdw x^4 [/mm] = [mm] y^4 \gdw [/mm] |x| = |y|
> [mm] g(x,y) = x^2+y^2-1 \Rightarrow |x| = |y| \Rightarrow x^2+x^2 = 1 \gdw x = \pm \wurzel{1/2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] mögliche Kandidaten für Extrema: [mm](\pm \wurzel{1/2},\pm \wurzel{1/2}),(\pm \wurzel{1/2},\mp \wurzel{1/2})[/mm]
>
> Und jetzt?
Wenn Du obigen Hinweis verarbeitet hast, kannst Du ja schonmal die Funktionswerte feststellen und Dir überlegen, wo Minima und Maxima sind.
>
> d) Da auf dem Inneren von [mm]B[/mm] ein lok. Min. (welches [mm] x(6x^4+2)[/mm] [/mm] = 0 [mm]\gdw 6x^4+2[/mm] = 0
> gleichzeitig ein globales Min sogar auf ganz [mm]\IR^2[/mm] ist) und
> auf dem Rand von [mm]B[/mm] ein lok. Max., bleibt zu überprüfen,
> ob auf dem Inneren ein lok. Max. existiert, bzw. auf dem
> Rand von ein Minimum. Da (0,0) der einzige mögliche
> Kandidat für ein Extr. auf dem Inneren ist, kann auf dem
> Inneren kein Max. bestehen. Ein lok. Minimum auf dem Rand
> spielt keine Rolle, da wegen f(x,y) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^2[/mm]
> (0,0) ein globles Min. auf [mm]\IR^2[/mm] ist. Das lok. Max. auf dem
> Rand ist (auch nach a)) ein globales Max. auf [mm]B[/mm].
>
> Kann man das so schreiben?
Ich folge dem nicht gut.
Die Frage nach den glob. Extrema über B lautet doch umformuliert: an welchen Stellen wird der allergrößte und der allerkleinst Funktionswert angenommen. (Da B kompakt ist, wissen wir, daß dies geschieht.)
Nun vergleiche die Funktionswerte der Extrema innen und auf dem Rand und entscheide.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
>
> Hallo,
>
> Du bist zu sorglos mit Äquivalenz- und Folge pfeilen.
> Verwende sie nur dort, wo es paßt.
>
> Zum Beispiel sowas
> > [mm]x(6x^4+2)=[/mm] 0 [mm]\gdw 6x^4+2[/mm] = 0
> und sowas
> > g(x,y) = [mm]x^2+y^2-1 \Rightarrow[/mm] |x| = |y|
> ist schlichtweg grottenfalsch.
>
> Ich werde in Deinem Post nicht jedesmal daraufhinweisen,
> sondern nehme es wie einen Gewitterregen - "in echt" bringt
> Dir's Punktabzug.
Ich weiß, dass das hier nicht alles "schön" dargestellt ist, aber an manchen Stellen wusste ich nicht, wie ich das hier besser darstellen soll...
>
>
>
> >
> > c) Nebenbedingnung: [mm]g(x,y) = x^2+y^2-1=0 \gdw g_x(x,y) = 2x, \quad g_y(x,y) = 2y[/mm]
>
> >
> > [mm]6x^5+2x = \lambda \cdot 2x \gdw 3x^4+1 = \lambda;[/mm]
>
> Wie oben erwähnt, stimmt diese Folgerung so nicht. Es
> folgt x=0 oder [mm]3x^4+1[/mm] = [mm]\lambda,[/mm]
Das verstehe ich nicht... für x=0 stünde da [mm]6=0[/mm] (was ja wohl nicht richtig ist) und [mm]3x^4+1[/mm] = [mm]\lambda,[/mm] steht auch in meiner Lösung. Ich wüsste auch nicht, was an dieser Äquivalenz falsch ist, da ich doch nur äquivalent umgeformt habe (beide Seiten durch [mm]2x[/mm] geteilt; hier muss dann sogar [mm]x \not= 0[/mm] gelten!)
>
> und für y erhältst Du y=0 oder [mm]3y^4+1[/mm] = [mm]\lambda.[/mm]
>
>
>
> > [mm]\quad 6y^5+2y[/mm] = [mm]\lambda \cdot[/mm] 2y [mm]\gdw 3y^4+1[/mm] = [mm]\lambda \Rightarrow 3x^4+1[/mm]
> = [mm]3y^4+1 \gdw x^4[/mm] = [mm]y^4 \gdw[/mm] |x| = |y|
>
> > [mm]g(x,y) = x^2+y^2-1 \Rightarrow |x| = |y| \Rightarrow x^2+x^2 = 1 \gdw x = \pm \wurzel{1/2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] mögliche Kandidaten für Extrema: [mm](\pm \wurzel{1/2},\pm \wurzel{1/2}),(\pm \wurzel{1/2},\mp \wurzel{1/2})[/mm]
>
> >
> > Und jetzt?
>
> Wenn Du obigen Hinweis verarbeitet hast, kannst Du ja
> schonmal die Funktionswerte feststellen und Dir überlegen,
> wo Minima und Maxima sind.
Also: [mm] f(\pm\wurzel{1/2},\pm\wurzel{1/2}) = \pm\wurzel{1/2}^6 + \pm\wurzel{1/2}^6 + \pm\wurzel{1/2}^2 + \pm\wurzel{1/2}^2 = 5/4
f(\pm\wurzel{1/2},\mp\wurzel{1/2}) = ... = 5/4 [/mm]
Und jetzt ist 5/4 ein Maximum auf dem Rand von B?
>
> >
> > d) Da auf dem Inneren von [mm]B[/mm] ein lok. Min. (welches
> [mm]x(6x^4+2)[/mm][/mm] = 0 [mm]\gdw 6x^4+2[/mm] = 0
> > gleichzeitig ein globales Min sogar auf ganz [mm]\IR^2[/mm] ist) und
> > auf dem Rand von [mm]B[/mm] ein lok. Max., bleibt zu überprüfen,
> > ob auf dem Inneren ein lok. Max. existiert, bzw. auf dem
> > Rand von ein Minimum. Da (0,0) der einzige mögliche
> > Kandidat für ein Extr. auf dem Inneren ist, kann auf dem
> > Inneren kein Max. bestehen. Ein lok. Minimum auf dem Rand
> > spielt keine Rolle, da wegen f(x,y) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^2[/mm]
> > (0,0) ein globles Min. auf [mm]\IR^2[/mm] ist. Das lok. Max. auf dem
> > Rand ist (auch nach a)) ein globales Max. auf [mm]B[/mm].
> >
> > Kann man das so schreiben?
>
> Ich folge dem nicht gut.
> Die Frage nach den glob. Extrema über B lautet doch
> umformuliert: an welchen Stellen wird der allergrößte und
> der allerkleinst Funktionswert angenommen. (Da B kompakt
> ist, wissen wir, daß dies geschieht.)
> Nun vergleiche die Funktionswerte der Extrema innen und
> auf dem Rand und entscheide.
Also: Im Inneren hatte ich [mm]f(0,0) = 0[/mm] und auf dem Rand die Punkte [mm]f(\pm\wurzel{1/2},\pm\wurzel{1/2}) = 5/4[/mm]. Also ist in (0,0) das globale Minimum und in [mm] f(\pm\wurzel{1/2},\pm\wurzel{1/2}) [/mm] ein globales Maximum auf B?
>
> Gruß v. Angela
>
LG fagottator
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> > > c) Nebenbedingnung: [mm]g(x,y) = x^2+y^2-1=0 \gdw g_x(x,y) = 2x, \quad g_y(x,y) = 2y[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]6x^5+2x = \lambda \cdot 2x \gdw 3x^4+1 = \lambda;[/mm]
> >
> > Wie oben erwähnt, stimmt diese Folgerung so nicht. Es
> > folgt x=0 oder [mm]3x^4+1[/mm] = [mm]\lambda,[/mm]
> Das verstehe ich nicht... für x=0 stünde da [mm]6=0[/mm]
Hallo,
???
Dem kann ich nicht folgen. Wo kommt das her?
Aber selbst wenn x=0 zu einem Widerspruch führen würde, dann bleibt die Äquivalenz [mm] 6x^5+2x [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2x [mm] \gdw 3x^4+1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] so, wie sie jetzt dasteht, verkehrt.
Der Widerspruch müßte herausgearbeitet werden.
Grundsätzlich: immer aufpassen, daß Du beim Dividieren nicht mögliche Lösungen verlierst.
> (was ja
> wohl nicht richtig ist) und [mm]3x^4+1[/mm] = [mm]\lambda,[/mm] steht auch in
> meiner Lösung. Ich wüsste auch nicht, was an dieser
> Äquivalenz falsch ist, da ich doch nur äquivalent
> umgeformt habe (beide Seiten durch [mm]2x[/mm] geteilt; hier muss
> dann sogar [mm]x \not= 0[/mm] gelten!)
Eben:
[mm] 6x^5+2x [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2x ist äquivalent dazu, daß [x=0 oder [mm] 3x^4+1=\lambda].
[/mm]
Es ist aber [mm] 6x^5+2x [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2x nicht äquivalent dazu, daß [mm] 3x^4+1=\lambda, [/mm] denn selbst wenn diese Gleichheit nicht gilt, ist [mm] 6x^5+2x [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2x richtig für x=0.
> > [mm] 6x^5+2x [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm]
> > und für y erhältst Du y=0 oder [mm]3y^4+1[/mm] = [mm]\lambda.[/mm]
> >
> >
> >
> > > [mm]\quad 6y^5+2y[/mm] = [mm]\lambda \cdot[/mm] 2y [mm]\gdw 3y^4+1[/mm] = [mm]\lambda \Rightarrow 3x^4+1[/mm]
> > = [mm]3y^4+1 \gdw x^4[/mm] = [mm]y^4 \gdw[/mm] |x| = |y|
> >
> > > [mm]g(x,y) = x^2+y^2-1 \Rightarrow |x| = |y| \Rightarrow x^2+x^2 = 1 \gdw x = \pm \wurzel{1/2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] mögliche Kandidaten für Extrema: [mm](\pm \wurzel{1/2},\pm \wurzel{1/2}),(\pm \wurzel{1/2},\mp \wurzel{1/2})[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und jetzt?
> >
> > Wenn Du obigen Hinweis verarbeitet hast, kannst Du ja
> > schonmal die Funktionswerte feststellen und Dir überlegen,
> > wo Minima und Maxima sind.
> Also: [mm]f(\pm\wurzel{1/2},\pm\wurzel{1/2}) = \pm\wurzel{1/2}^6 + \pm\wurzel{1/2}^6 + \pm\wurzel{1/2}^2 + \pm\wurzel{1/2}^2 = 5/4
> f(\pm\wurzel{1/2},\mp\wurzel{1/2}) = ... = 5/4[/mm]
>
> Und jetzt ist 5/4 ein Maximum auf dem Rand von B?
Hmm. Irritierend, oder?
Du hast ja dann jetzt auf dem Rand 4 Maxima...
Und wo sind die Minima? (Bedenke, der Rand ist ebenfalls eine kompakte Menge...)
Vielleicht denkst Du doch nochmal über die Folgerung x=0 nach...
Dann dürfte sich auch der rest der Fragen langsam klären.
Gruß v. Angela
> >
> > >
> > > d) Da auf dem Inneren von [mm]B[/mm] ein lok. Min. (welches
> > [mm]x(6x^4+2)[/mm][/mm] = 0 [mm]\gdw 6x^4+2[/mm] = 0
> > > gleichzeitig ein globales Min sogar auf ganz [mm]\IR^2[/mm] ist) und
> > > auf dem Rand von [mm]B[/mm] ein lok. Max., bleibt zu überprüfen,
> > > ob auf dem Inneren ein lok. Max. existiert, bzw. auf dem
> > > Rand von ein Minimum. Da (0,0) der einzige mögliche
> > > Kandidat für ein Extr. auf dem Inneren ist, kann auf dem
> > > Inneren kein Max. bestehen. Ein lok. Minimum auf dem Rand
> > > spielt keine Rolle, da wegen f(x,y) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^2[/mm]
> > > (0,0) ein globles Min. auf [mm]\IR^2[/mm] ist. Das lok. Max. auf dem
> > > Rand ist (auch nach a)) ein globales Max. auf [mm]B[/mm].
> > >
> > > Kann man das so schreiben?
> >
> > Ich folge dem nicht gut.
> > Die Frage nach den glob. Extrema über B lautet doch
> > umformuliert: an welchen Stellen wird der allergrößte und
> > der allerkleinst Funktionswert angenommen. (Da B kompakt
> > ist, wissen wir, daß dies geschieht.)
> > Nun vergleiche die Funktionswerte der Extrema innen und
> > auf dem Rand und entscheide.
> Also: Im Inneren hatte ich [mm]f(0,0) = 0[/mm] und auf dem Rand die
> Punkte [mm]f(\pm\wurzel{1/2},\pm\wurzel{1/2}) = 5/4[/mm]. Also ist
> in (0,0) das globale Minimum und in
> [mm]f(\pm\wurzel{1/2},\pm\wurzel{1/2})[/mm] ein globales Maximum auf
> B?
>
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> LG fagottator
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