log. exp. und beschränktes W. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Fr 30.03.2007 | | Autor: | slice |
Hey!
Wie erkenne ich in einer Aufgabe den Unterschied zwischen exponentiellen Wachstum, beschränktem Wachstum und logistschem Wachstum?
also exponentielles wachstum ist doch ganz normales wachstum ohne grenze ohne alles, oder?
dazu hab ich auch gleich noch ne frage:
man sagt doch da dass die änderung vom bestand beim exp. wachstum nicht konstant ist, da sie abhängig und proportional zum momentanen bestand ist, oder?
wenn ich jetzt in den taschenrechner zb die formel [mm] f(t)=3232,15e^{-0,12t}
[/mm]
eingebe, dann ist das doch nicht die änderung vom bestand sondern der momentane bestand, oder nicht? aber wenn man sich davon mal den graphen anschut, näher es sich ja auch rgendwann einer grenze an??
beschränktes wachstum ist dass es steigt, sch aber immer mehr an eine grenze annähert
und logistisches wachsutm soll doch so eine mischung davon sein?
ich versteh aber nicht, wie man den unterschied erkennt..
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Hi Anna,
ich definiere dir einemal die verschiedenen Wachstumsarten:
(Quelle: Wikipedia)
Exponentielles Wachstum:
Ein Wachstum heißt exponentielles Wachstum, wenn für jeden Zeitschritt Bestand(neu) = a · Bestand(alt) gilt mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl wie a (Wachstumsfaktor). Bei exponentiellem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten:
Grundform -> B(t) = B(0) * [mm] a^{t}
[/mm]
Beschränktes Wachstum:
Ein Wachstum heißt beschränktes Wachstum mit der Schranke (Kapazität) S, wenn sich der Bestand B(t) nach t Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um k · [S - B(t)] ändert mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl k, wenn also die Änderungsrate zum Sättigungsmanko S - B(t) proportional ist. Bei beschränktem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten:
Grundform -> B(t) = (B(0) - S) * (1 - [mm] a)^{t} [/mm] + S
Logistisches Wachstum:
Ein Wachstum heißt logistisches Wachstum mit der Schranke S, wenn sich der Bestand B (t) nach t Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um k · B (t) · [S - B(t)] ändert, wenn also die Änderungsrate zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko proportional ist. Die Differenzbildung von S und B(t) zeigt, das S die gleiche Dimension hat, wie B(t). S ist also keine Wachstumsgrenze, sondern eine Bestandsgrenze. Daraus ergibt sich, dass das Wachstum (W) nicht dem Verlauf der logistischen Funktion (LF) folgt. Sondern der Bestand folgt der logistischen Funktion. Das logistische Wachstum dagegen folgt dem Verlauf der ersten Ableitung der logistischen Funktion. Das ist eine Glockenkurve (die wiederum nicht mit einer Gauss-Kurve verwechselt werden sollte).
Für detailliertere Infors schau dir bitte dies an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentiell
http://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nkt
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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